Work_9th chapter 4 NO 4.16

St: Wenya Wu 201530102016 WHU

NO 4.16 Carry out a true three-body simulation in which the motions of Earth, Jupiter, and the Sun are all calculated.Since all three bodies are now in motion, it is useful to take the center of mass of the three-body system as the origin, rather than the position of Sun. We also suggest that you give the Sun an initial velocity which makes tne total momentum of the sysytem exactly zero (so that the center of mass will remain fixed). Study the motion of Earth with different initial conditions. Also, try increasing the mass of Jupiter to 10, 100, and 1000 times its true mass.

综述

• 本题要求研究真实的三体运动情况，即太阳不在固定于一点，而拥有初始速度
• 星体之间的相互作用仅有万有引力
• 在三体质心为原点的坐标系中讨论问题，即初始的总动量和总角动量为0

计算公式说明

• Earth、Jupiter、Sun的位置坐标 $$r_e(i)=\sqrt{x_e(i)^2+y_e(i)^2}$$ $$r_j(i)=\sqrt{x_j(i)^2+y_j(i)^2}$$ $$r_s(i)=\sqrt{x_s(i)^2+y_s(i)^2}$$
• 三者在质心系中的速度 $$v_{e,x}(i+1)=v_{e,x}(i)-\frac{GM_S(x_e-x_s)}{r^3_{ES}}Δt-\frac{GM_J(x_e-x_j)}{r^3_{EJ}}Δt$$ $$v_{e,y}(i+1)=v_{e,y}(i)-\frac{GM_S(y_e-y_s)}{r^3_{ES}}Δt-\frac{GM_J(y_e-y_j)}{r^3_{EJ}}Δt$$
  对于Sun 和Jupiter速度与上面类似(视地球质量为单位质量)

• $$x_e(i+1)=x_e(i)+v_{e,x}(i+1)Δt$$ $$y_e(i+1)=y_e(i)+v_{e,y}(i+1)Δt$$
  对于Sun 和Jupiter位置坐标与上面类似；由于存在周期性运动，所以这里用了Euler-Cromer方法.

• 初始条件说明: 在将计算过程中发现，由于星体质量巨大，星体间的质量差异也巨大，初速度太小，木星和地球的轨迹就会迅速收缩到太阳；初速度太大，二者又会远离太阳，并且不知道为什么（或许正是因为星体质量太大的原因）即便是初速度满足“圆周运动”的条件，也无法画出圆。我尝试了多种约化的单位，但总是不能画出轨道来（画出来的轨道永远都是直线）。于是我采用了夏海峰学长的代码和初始条件，顺便进一步学习了一下怎样写函数和调用类。

计算结果：

（代码中所用参数均为国际单位制，无约化的实际情况）代码
太阳没有初速度时：
1. 木星质量不变

2.木星质量变成原来的10倍


3.木星质量变为原来的100倍


4.木星质量变为原来的1000倍

木星质量不变的情况下，改变太阳的初速度：
首先给太阳竖直向上的速度，大小为$5*10^3m/s$（与地球和木星的速度同等数量级）

可以看出太阳自身的直线运动基本不受其他影响
改变太阳的质量为原来的十分之一（太阳质量为地球质量10^6倍）

太阳已经无法完全束缚住其余两星球
当太阳质量与木星相等时，让地球处于太阳和木星之间静止：

两星有合并到一起的趋势

总结

本次作业探究了三星系统的各种运动，分别改变木星的质量和太阳的初始速度，在多种情况下讨论了三体运动，并且最后给出了类似“星体合并”的运动状态。