曲线与曲面的微分几何

第1章

暂空

第2章

暂空

第3章 高斯映照的几何学

3.2 高斯映照的定义和基本性质

定义1 设$S\subset R^3$是具有定向$N$的曲面。映照$N:S\to R^3$取值于单位球面

$$S^2 = \{(X, Y, Z)\in R^3;| X^2 + Y^2 + Z^2 = 1\}$$ 这样得到的映照$N:S\to S^2$称为$S$的高斯映照。

命题1 高斯映照的微分

$$dN_p:T_p(S)\to T_p(S)$$ 是自伴随的线性映照。
证明 因为$dN_p$是线性的，只须对$T_p(S)$的一组基$(w_1, w_2)$证明 $$<dN_p(w_1), w_2>=<w_2, dN_p(w_2)>$$ 设$X(u, v)$是$S$在$p$近旁的一个参数表示，$\{X_u, X_v\}$是在$T_p(S)$中相应的基。若$\alpha(t)=X(u(t), v(t))$是$S$中的一条参数曲线，且$\alpha(0)=p$，则有 $$dN_p(\alpha'(0))=dNp(X_uu'(0) + X_vv'(0))$$ $$=\frac{d}{dt}N(u(t), v(t))\bigg|_{t = 0}$$ $$=N_uu'(0)+N_vv'(0)$$ 特别， $$dN_p(X_u)=N_u,dN_p(X_v)=N_v$$ 因此，为证明$dN_p$是自伴随的，只须证明 $$<N_u,X_v>=<X_u,N_v>$$ 为此，取$<N,X_u>=0$和$<N,X_v>=0$分别对$v$和$u$的导数，得到 $$<N_v,X_u>+<N,X_{uv}>=0$$ $$<N_u,X_v>+<N,X_{vu}>=0$$ 所以 $$<N_u,x_v>=-<N,X_{uv}>=<N_v,X_u>$$ 证毕。

定义2 定义在$T_p(S)$上的二次形式$\Pi_p$：

$$\Pi_p(v)=-<dN_p(v),v>,v\in T_p(S)$$ 称为S在p的第二基本形式。

定义3 设$C$是$S$中经过点$p\in S$的曲线，$k$是$C$在$p$的曲率，$\cos\theta=<n, N>$，$n$是$C$在$p$点的主法向量，$N$是$S$在$p$点的法向量，则数

$$k_n=k\cos\theta$$ 称为曲线$C\subset S$在$p$点的法曲率。

命题2（Meusnier） 曲面$S$上经过给定的一点$p$且具有相同切线的所有曲线在这一点有相同的法曲率。

定义4 在$p$点的最大的法曲率和最小的法曲率称为$p$点的主曲率；对应的方向，即特征向量$e_1$和$e_2$的方向，称为$p$点的主方向。

定义5 $S$上的一条正则连通曲线$C$称为$S$的曲率线，如果对所有的$p\in C$，$C$在$p$点的切方向都是$S$在$p$点的主方向。

命题3（Olinde Rodrigue） 曲面$S$上的一条连通的正则曲线$C$是$S$的曲率线的充分必要条件是，对$C$的任何参数表示$\alpha(t)$，

$$N'(t)=\lambda(t)\alpha'(t)$$ 成立，其中$N(t)=N\circ\alpha(t)$和$\lambda(t)$是$t$的可微函数。在这种情形，$-\lambda(t)$是沿$\alpha'(t)$的法曲率（主曲率）。
证明 只要注意，若$\alpha'(t)$是主方向，则$\alpha'(t)$是$dN$的特征向量，且 $$dN(\alpha'(t))=N'(t)=\lambda(t)\alpha'(t)$$ 反之显然。证毕。

定义6 设$p\in S,dN_p:T_p(S)\to T_p(S)$是高斯映照的微分。$dN_p$的行列式称为$S$在$p$点的高斯曲率$K$，$dN_p$的迹的相反数之半称为$S$在$p$点的平均曲率$H$。

定义7 曲面$S$上的一点$p$称为
1）椭圆点，如果$dN_p$的行列式$\det(dN_p)>0$。
2）双曲点，如果$\det(dN_p)<0$。
3）抛物点，如果$\det(dN_p)=0$，但$dN_p\neq0$。
4）平点，如果$dN_p=0$。

定义8 在$p\in S$，若$k_1=k_2$，则$p$称为$S$的一个脐点；特别，平点（$k_1=k_2=0$）是脐点。

命题4 若连同曲面$S$的所有的点都是脐点，则$S$必包含在球面或平面中。
证明 设$p\in S$，$X(u, v)$是$S$在$p$近旁的一个参数表示，且坐标邻域$V$是连通的。
因为每一点$q\in V$都是脐点，故对$T_q(S)$中的任意向量$w=a_1X_u+a_2X_v$，都有

$$dN(w)=\lambda(q)w$$ 其中$\lambda=\lambda(q)$是$V$上的实值可微函数。
首先证明$\lambda(q)$在$V$中是常数。为此，我们将上方程写成 $$N_ua_1+N_va_2=\lambda(X_ua_1+X_va_2)$$ 因为$w$是任意的，故 $$N_u=\lambda X_u$$ $$N_v=\lambda X_v$$
将第一式对$v$微分和第二式对$u$微分，再相减就得到 $$\lambda_uX_v-\lambda_vX_u=0$$ 因为$X_u$和$X_v$是线性独立的，故必有 $$\lambda_u=\lambda_v=0$$ 对$V$中所有点$q$成立。因为$V$是连通的，所以$\lambda$是常数。
若$\lambda\equiv0$，则$N_u=N_v=0$，于是，在$V$中，$N=N_0$为常向量，所以， $$<X(u,v),N_0>_u=<X(u,v),N_0>_v=0$$ 因此， $$<X(u,v),N_0>=const$$ 即$V$的所有的点$X(u,v)$都在一平面上。
若$\lambda\neq0$，则 $$X(u,v)-\frac{1}{\lambda}N(u,v)=Y(u,v)$$ 为一定点，这是因为 $$(X(u,v)-\frac{1}{\lambda}N(u,v))_u=(X(u,v)-\frac{1}{\lambda}N(u,v))_v=0$$ 因此， $$|X(u,v)-Y|^2=\frac{1}{\lambda^2}$$ 即$V$的所有的点都在以$Y$为中心，$\frac{1}{|\lambda|}$为半径的球面上。
以上局部地证明了命题，也就是对任一点$p\in S$的领域作了证明。下面来完成定理的证明。因为$S$是连通的，对$S$中任意给定的另一点$r$，存在连续的曲线 $$\alpha:[0,1]\to S$$ 使$\alpha(0)=p,\alpha(1)=r$。对这条曲线上的每一点$\alpha(t)\in S$，存在它在$S$中的包含在球面或平面上的一个邻域$V$，并使$\alpha^{-1}(V_t)$是$[0,1]$的一个开区间并集$\bigcup\alpha^{-1}(V_t),t\in[0,1]$，覆盖$[0,1]$，且因为$[0,1]$是闭区间，它可以由族$\{\alpha^{-1}(V_t)\}$中有限个元素覆盖。所以，$\alpha([0,1])$可以由邻域$V_t$中的有限个覆盖。
若这些邻域中有一个邻域内的点都在一平面上，所有的其他的邻域的点也在这平面上。因为$r$是任意的，$S$的所有的点都在这平面上。
若这些邻域中有一个邻域的点都在一球面上，同样的理由说明$S$上的所有的点都在这球面上，这就完成了定理的证明。证毕。

定义9 设$p$是$S$中的一点，$T_p(S)$的一个方向称为$S$在$p$点的渐进方向。如果它对应的法曲率为零。$S$的一条连通的正则曲线$C\subset S$称为渐进线，如果对$C$上的每一点$p$，$C$在$p$的切向都是渐进方向。

定义10 设$p$是曲面$S$上的一点，$T_p(S)$中的两个向量$w_1$和$w_2$称为共轭的，如果

$$<dN_p(w_1),w_2>=<w_1,dN(w_2)>=0$$ 在$p$点的两个方向$r_1$和$r_2$称为共轭的，如果分别平行于$r_1$和$r_2$的一对向量$w_1$和$w_2$是共轭的。

习题

1.证明：在双曲点，主方向平分渐进方向。
易

2.证明：若曲面沿一曲线与平面相切，则此曲线上的点必为抛物点或平点。
易

3.设曲面$S$的高斯曲率$K>0$，$C\subset S$是曲面$S$上的一条正则曲线。证明：$C$在$p$点的曲率

$$k\geq \min(|k_1|,|k_2|)$$ 其中$k_1$和$k_2$是$S$在$p$点的主曲率。
易

4.设在曲面$S$的每一点都有$|k_1|\leq1$和$|k_2|\leq1$。问：对曲面$S$上的任一曲线$C$，是否总有$|k|\leq1$？
易

5.证明：在$x\in S$的平均曲率

$$H=\frac{1}{\pi}\int_0^\pi k_n(\theta)d\theta$$ 其中$k_n(\theta)$是在$p$点的沿与某一固定方向成$\theta$角的方向的法曲率。
易

6.证明：在曲面上的一点，互相垂直的任意一对方向的法曲率之和是常数。
易

7.证明：在非平点，若平均曲率为零，则这一点有两个互相垂直的渐进方向。
易

8.描述下列曲面的高斯映照的像在单位球面上所覆盖的区域：
a.旋转抛物面$z=x^2+y^2$。
b.旋转双曲面$x^2+y^2-z^2=1$。
c.悬链面$x^2+y^2=\cosh^2z$。
易

9.证明：
a.设$N:S\to S^2$是曲面$S$的高斯映照，$\alpha:I\to S$是$S$上的一条正则的参数曲线，且不包含曲面的平点或抛物点，有$N\circ\alpha$是球面$S^2$上的正则的参数曲线（称为$\alpha$的球面像）。
b.若$C=\alpha(I)$是一条曲率线，$k$是$C$在$p$点的曲率，则

$$k=|k_nk_N|$$ 其中$k_n$是在$p$点沿$C$的切线方向的法曲率，$k_N$是$C$的球面像$N(C)\subset S^2$在$N(p)$的曲率。
易

10.设$C$是曲面$S$上的一条曲率线，它的任一点的切线方向都不是渐进方向，且$C$的密切平面与曲面的切平面沿$C$成定角。证明：$C$必为平面曲线。
易

11.设$p$是曲面$S$的一个椭圆点，$r$和$r'$是在$p$点的一对共轭方向。证明：当$r$在$T_p(S)$中变化时，$r$和$r'$所成的角在关于主方向对称的唯一的一对方向达到最小值。
易

12.设$p$是曲面$S$的一个双曲点，$r$是$T_p(S)$的一个方向。借助杜平标线给出找$r$的共轭方向$r'$的几何作图法并予以证明。
易

13.（Beltrami-Enneper定理）证明：曲面上的一条曲率处处不为零的渐近线在一点的挠率$\tau$的绝对值

$$|\tau|=\sqrt{-K}$$ 其中$K$是曲面在给定点的高斯曲率。

提示：由于密切平面于$N$垂直，$N'=\tau n$，因此，$\tau^2=|N'|^2=k_1^2\cos^2\theta+k_2^2\sin^2\theta$，这里$\theta$是$e_1$与曲线的切线的夹角。由于是渐近方向，我们得到$\cos^2\theta$和$\sin^2\theta$是$k_1$和$k_2$的函数，将它们代入上面的表达式就得到$\tau^2=-k_1k_2$。

14.若曲面$S_1$和曲面$S_2$沿正则曲线$C$相交，由$C$在点$p\in C$的曲率$k$可以由下式给出：

$$k^2\sin^2\theta=\lambda_1^2+\lambda_2^2-2\lambda_1\lambda_2\cos\theta$$ 其中$\lambda_1$和$\lambda_2$分别是$S_1$和$S_2$在$p$点沿曲线$C$的切线方向的法曲率，$\theta$是$S_1$在$p$点的法向量和$S_2$在$p$点的法向量所成的角。

提示：置$\lambda_1=\lambda_1N_2$以及$\lambda_2=\lambda_2N_1$，我们有

$$|\lambda_1-\lambda_2|=k|<n,N_1>N_2-<n,N_2>N_1|=\sqrt{\lambda_1^2+\lambda_2^2-2\lambda_1\lambda_2\cos\theta}$$ 另一方面 $$|\sin\theta|=|N_1\land N_2|=|n\land(N_1\land N_2)|=|<n,N_2>N_1-<n,N_1>N_2|$$

15.（Joachimstal定理）设曲面$S_1$和曲面$S_2$沿一条正则曲线$C$相交，交角为$\theta(p),p\in C$。假定$C$是$S_1$的一条曲率线。证明：$C$是$S_2$的曲率线的充要条件是$\theta(p)$为常数。
易

16.证明：环面上的子午线是曲率线。

提示：用一个包含环面的轴的平面去截这个环面并利用习题15。

17.证明：若曲面$S$的平均曲率$H\equiv0$，且$S$无平点，则高斯映照$N:S\to S^2$有下面的性质：

$$<dN_p(w_1),dN_p(w_2)>=-K(p)<w_1,w_2>$$ 对所有的和所有的$w_1,w_2\in T_p(S)$成立。并由上面的条件证明，在$S$上任意两条曲线的交角等于它们的球面像的交角，最多差一个符号。
易

18.设$\lambda_1,...,\lambda_m$（$m>2$）分别是$p$点的沿与主方向成角$0,\frac{2\pi}{m},...,\frac{2(m-1)\pi}{m}$的方向的法曲率。证明：

$$\lambda_1+\lambda_2+...+\lambda_m=mH$$ 其中$H$是在$p$点的平均曲率。

提示：利用下面的事实，即如果$\theta=\frac{2\pi}{m}$，则

$$\sigma(\theta)=1+\cos^2\theta+...+\cos^2(m-1)\theta=\frac{m}{2}$$ 这一事实可利用下列两点加以证明，即 $$\sigma(\theta)=\frac{1}{4}(\overset{m-1}{\underset{v=-(m-1)}{\sum}}e^{2vi\theta}+2m+1)$$ 及在求和符号下的表达式正好是一个几何级数的和，它给出 $$\frac{\sin(2m\theta-\theta)}{\sin\theta}=-1$$

19.设$C\subset S$是$S$中的一条正则曲线，$p\in C$，$\alpha(s)$是$C$在$p$近旁的参数表示，$s$为弧长，且$\alpha(0)=p$，$\{t, h\}$是$T_p(S)$的一组标准正交的正基，且$t=\alpha'(0)$。$C\subset S$在$p$点的测地挠率$\tau_g$定义为

$$\tau_g=<\frac{dN}{ds}(0),h>$$ 证明：
a.$\tau_g=(k_1-k_2)\cos\phi\sin\phi$，其中$\phi$是从$e_1$到$t$的角。
b.若$\tau$是$C$的挠率，$n$是$C$的主法向量，$\cos\theta=<N,n>$，则 $$\frac{d\theta}{ds}=\tau-\tau_g$$
c.$S$的曲率线可以由测地挠率为零这一性质刻划。

提示：a.将$t$和$h$用主方向构成的基$\{e_1,e_2\}$表示出来，并计算$<dN(t),h>$。
b.微分$\cos\theta=<N,n>$，利用$dN(t)=-k_nt+\tau_gh$，并注意$<N,b>=<h,n>=\sin\theta$，这里是从法向量。

20.（Dupin定理）在$R^3$的一个开集$U$中的三族曲面称为三重正交系，如果过$U$中的每一点$p\in U$都有各族中唯一的曲面经过，且它们是两两正交的。利用习题19的c部分，证明Dupin定理：三重正交系中的曲面彼此相交于曲率线。

提示：设$S_1$，$S_2$和$S_3$是过$p$的曲面。证明$C_1=S_2\cap S_3$关于$S_2$和$S_3$的测地挠率相等；其值用$\tau_1$表示。类似地，$\tau_3$表示$C_3=S_1\cap S_2$的测地挠率，$\tau_2$表示$C_2=S_1\cap S_3$的测地挠率。利用$\tau_g$的定义证明：由于$C_1$,$C_2$,$C_3$是两两正交的，因此$\tau_1+\tau_2=0$,$\tau_2+\tau_3=0$,$\tau_3+\tau_1=0$。由此得出$\tau_1=\tau_2=\tau_3=0$。

3.3 局部坐标中的高斯映照

定义 Weingarten方程

$$N_u=a_{11}X_u+a_{21}X_v$$ $$N_v=a_{12}X_u+a_{22}X_v$$ $$\Pi_p(\alpha')=e(u')^2+2fu'v'+g(v')^2$$ $$a_{11}=\frac{fF-eG}{EG-F^2},a_{12}=\frac{gF-fG}{EG-F^2}$$ $$a_{21}=\frac{eF-fE}{EG-F^2},a_{22}=\frac{fF-gE}{EG-F^2}$$ 也可描述为 $$\left[\begin{matrix}a_{11}&a_{21}\\a_{12}&a_{21}\end{matrix}\right]=-\left[\begin{matrix}e&f\\f&g\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}E&F\\F&G\end{matrix}\right]^{-1}$$

下文中将采取简单记号

$$<u\land v,w>=(u,v,w),u,v,r\in R^3$$

命题1 若$p\in S$是$S$的一个椭圆点，则存在$p$在$S$中的邻域$V$，使$V$中所有点都在切平面$T_p(S)$的同侧。若$p\in S$是$S$的一个双曲点，则$p$在$S$的每一个邻域都有在$T_p(S)$异侧的点。
证明 设$X(u,v)$是$S$在$p$附近的一个参数表示，且$X(0,0)=p$。从点$q=X(u,v)$到切平面$T_p(S)$的距离

$$d=<X(u,v)-X(0,0),N(p)>$$ 因为$X(u,v)$是可微的，故有泰勒公式： $$X(u,v)=X(0,0)+X_uu+X_vv$$ $$+\frac{1}{2}(X_{uu}u^2+2X_{uv}uv+X_{vv}v^2)+\overset{\_}{R}$$ 其中各导数在$(0,0)$取值，余项$\overset{\_}{R}$满足条件 $$\underset{(u,v)\to(0,0)}{\lim}{\frac{\overset{\_}{R}}{u^2+v^2}}=0$$ 由此得到 $$d=<X(u,v)-X(0,0),N(p)>$$ $$=\frac{1}{2}\{<X_{uu},N(p)>u^2+2<X_{uv},N(p)>uv+<X_{vv},N(p)>v^2\}+R$$ $$=\frac{1}{2}(eu^2+2fuv+gv^2)+R$$ $$=\frac{1}{2}\Pi_p(w)+R$$ 其中$w=X_uu+X_vv$，$R=<\overset{\_}{R},N(p)>$，且$\underset{w\to0}{lim}\frac{R}{|w|^2}=0$。
对椭圆点$p$，$\Pi_p(w)$符号不变。所以，对所有充分接近于$p$点的$(u,v)$，$d$与$\Pi_p(w)$有相同的符号；即，所有这样的$(u,v)$都在$T_p(S)$的同侧。
对双曲点$p$，在$p$点的每一邻域，都存在点$(u,v)$和$(\overset{\_}{u},\overset{\_}{v})$使$\Pi_p(\frac{w}{|w|})$和$\Pi_p(\frac{\overset{\_}{w}}{|\overset{\_}{w}|})$有相反的符号（这里$\overset{\_}{w}=X_u\overset{\_}{u}+X_v\overset{\_}{v}$）；它们在$T_p(S)$的异侧。证毕。

命题2 设$p$是曲面$S$上的一点，且高斯曲率$K(p)\neq0$，$V$是$p$的一个连通的邻域，且在其中$K$不改变符号。则

$$K(p)=\underset{A\to0}{\lim}\frac{A'}{A}$$ 其中$A$是$V$中包含$p$点的一个区域$B$的面积，$A'$是$B$经高斯映射$N:S\to S^2$的像的面积。极限是对收敛于$p$点的一个区域序列$B_n$取的，其意义是，对包含$p$点的任一个球，所有的$B_n$必包含在这个球内，只要$n$充分大。
证明 $B$的面积是 $$A=\iint_R|X_u\land X_v|dudv$$ 其中$X(u,v)$是曲面的一个参数表示，其坐标邻域包含$V$（$V$可以假设为充分小），$R$是$uv$平面上对应于$B$的区域，$N(B)$的面积是 $$A'=\iint_R|N_u\land N_v|dudv$$ 利用$K$的定义，和上面的约定，可以将$A'$表示为 $$A'=\iint_RK|X_u\land X_v|dudv$$ 取下面的极限，并仍用$R$表示$R$的面积，得到 $$\underset{A\to0}{\lim}\frac{A'}{A}=\underset{R\to0}{\lim}\frac{\frac{A'}{R}}{\frac{A}{R}}=\frac{\underset{R\to0}{lim}\frac{1}{R}\iint_RK|X_u\land X_v|dudv}{\underset{R\to0}{lim}\frac{1}{R}\iint_R|X_u\land X_v|dudv}=\frac{K|X_u\land X_v|}{|X_u\land X_v|}=K$$ （注意，这里已经应用了重积分的中值定理），这就证明了命题。证毕。

习题

1.证明：在双曲抛物面$z=axy$上的点$(0,0,0)$，

$$K=-a^2,H=0$$
易

2.求螺旋面

$$x=v\cos u,y=v\sin u,z=cu$$ 的渐近线和曲率线，并证明其平均曲率为零。
提示：渐进曲线：$u=const$，$v=const$。曲率线 $$\ln(v+\sqrt{v^2+c^2})\pm u=const$$

3.求悬链面

$$X(u,v)=(\cosh v\cos u,\cosh v\sin u,v)$$ 的渐近线。
提示：$u+v=const$，$u-v=const$。

4.求曲面$z=xy$的渐近线和曲率线。
易

5.考虑参数曲面（Enneper曲面）

$$X(u,v)=(u-\frac{u^3}{3}+uv^2,v-\frac{v^3}{3}+vu^2,u^2-v^2)$$ 证明：
a.第一基本形式的系数是 $$E=G=(1+u^2+v^2),F=0$$ b.第二基本形式的系数是 $$e=2,g=-2,f=0$$ c.主曲率是 $$k_1=\frac{2}{(1+u^2+v^2)^2},k_2=-\frac{2}{(1+u^2+v^2)^2}$$ d.曲率线是坐标曲线。
e.渐近线是$u+v=const$和$u-v=const$。
易

6.($K\equiv-1$的曲面；伪球面)
a.决定平面曲线$C$的方程，它的切线和与曲线不相交的某条直线$r$之间的线段的长恒为$1$（这样的曲线称为曳物线）
b.将曳物线绕直线$r$旋转得到的旋转面称为伪球面，在正则点的邻域给曲面一个参数表示。
c.证明：伪球面上的任一正则点的高斯曲率都是$-1$。
提示：a.取直线$r$为$z$轴，$r$的一条垂线为$x$轴，我们有

$$z'=\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}$$ 置$x=\sin\theta$，我们得到 $$z(\theta)=\int\frac{\cos^2\theta}{\sin\theta}d\theta=\ln\tan\frac{\theta}{2}+\cos\theta+C$$ 如果$z(\frac{\pi}{2})=0$，则$C=0$。

7.（常曲率的旋转面）。设

$$(\varphi(v)\cos u,\varphi(v)\sin u,\psi(v))$$ 是具有常数高斯曲率$K$的旋转面。为决定函数$\varphi$和$\psi$，设参数$v$使$(\varphi')^2+(\psi')^2=1$（其几何意义是，$v$是母线$(\varphi(v),\psi(v))$的弧长）。证明：
a.$\varphi$满足$\varphi''+K\varphi=0$，$\psi$由$\psi=\int\sqrt{1-(\varphi')^2}dv$给出；所以，$0<u<2\pi$，$v$的区域使上面的积分有意义。
b.与$xOy$平面垂直相交、且具常数曲率$K=1$的所有旋转面由下式给出： $$\varphi(v)=C\cos v,\psi(v)=\int_0^v\sqrt{1-C^2\sin^2v}dv$$ 其中$C$是常数（$C=\varphi(0)$）。试决定$v$的区域，并分别对$C=1$、$C>1$和$C<1$的情况作出曲面的剖面草图。注意，$C=1$给出一球面。
c.具有常数曲率$K=-1$的所有的旋转面必为下列类型之一：
1)$\varphi(v)=C\cosh v$
$\psi(v)=\int_0^v\sqrt{1-C^2\sinh^2v}dv$
2)$\varphi(v)=C\sinh v$
$\psi(v)=\int_0^v\sqrt{1-C^2\cosh^2v}dv$
3)$\varphi(v)=e^v$
$\psi(v)=\int_0^v\sqrt{1-e^{2v}}dv$
决定$v$的区域，并作出曲面在$xz$平面的剖面的草图。
d.在c中类型3的曲面是习题6的伪球面。
e.$K\equiv0$的旋转面必为正圆柱面，正圆锥面或平面。
易

8.（曲面的$\geq2$的阶接触）设曲面$S$和$\bar{S}$具有公共点$p$，若$S$和$\bar{S}$分别有在$p$点附近的参数表示$X$和$\bar{X}$，使

$$X_u=\bar{X}_u,X_v=\bar{X}_v$$ $$X_{uu}=\bar{X}_{uu},X_{uv}=\bar{X}_{uv},X_{vv}=\bar{X}_{vv}$$ 在$p$点成立，则称$S$和$\bar{S}$在$p$点有$\geq2$阶的接触。证明：
a.设$S$和$\bar{S}$在$p$点有$\geq2$阶的接触；$X:U\to S$和$\bar{X}:U\to \bar{S}$分别是$S$和$\bar{S}$在$p$附近的任一参数表示；$f:V\subset R^3\to R$是$R^3$中$p$点的邻域$V$上的可微函数，若$f\circ X:U\to R$的$\leq2$阶的偏导数在$X^{-1}(p)$全为零，则$f\circ\bar{X}:U\to R$的$\leq2$阶的偏导数在$\bar{X}^{-1}(p)$全为零。
b.设$S$和$\bar{S}$在$p$点有$\geq2$阶的接触，$z=f(x,y)$和$z=\bar{f}(x,y)$分别是$S$和$\bar{S}$在$p$点一邻域中的方程，这里$xy$平面是二曲面在点$p=(0,0)$的公切面。则函数$f(x,y)-\bar{f}(x,y)$在$(0,0)$点的$\leq2$阶的偏导数全为零。
c.设$p$是曲面$S\subset R^3$上的一点，$O_{xyz}$是$R^3$的一个笛卡尔坐标系，使$O=p$和$xy$平面是$S$在$p$点的切平面。证明：由$z=f(x,y)$在$p=(0,0)$的泰勒展式中略去三阶和高阶项得到的抛物面 $$z=\frac{1}{2}(x^2f_{xx}+2xyf_{xy}+y^2f_{yy})$$ 在$p$点与$S$有$\geq2$阶的接触（该曲面称为$S$在$p$点的密切抛物面）。
d.若一抛物面（包括平面和抛物柱面这样退化的情形）和曲面$S$在$p$点有$\geq2$阶的接触，则此抛物面就是$S$在$p$点的密切抛物面。
e.若曲面$S$和$\bar{S}$在$p$点有$\geq2$阶的接触，则它们在$p$点有相同的密切抛物面。并证明，在$p$点有相等的高斯曲率和平均曲率。
f.证明：有$\geq2$阶接触的性质经$R^3$的微分同胚不变；即，若$S$和$\bar{S}$在$p$点有$\geq2$阶接触，$\varphi:R^3\to R^3$是一个微分同胚，则$\varphi(S)$和$\varphi(\bar{S})$在$\varphi(p)$有$\geq2$阶接触。
g.若$S$和$\bar{S}$在$p$点有$\geq2$阶接触，则 $$\underset{r\to0}{\lim}\frac{d}{r^2}=0$$ 其中$d$是垂直于$T_p(S)=T_p(\bar{S})$的直线被二曲面所割的线段的长，$r$是从$p$这条直线的距离。
提示：a.如果$X=X_1$和$\bar{X}=\bar{X}_1$是满足接触定义的参数表示，那么断言显然是真的。如果$X$和$\bar{X}$是任意的，考察$X=X_1\circ h$，这里$h$是坐标变换。由此得出$f\circ X=f\circ X_1\circ h$的偏导数是$f\circ X_1$的偏导数的线性组合，因此，随着后者等于零它们也等于零。
b.引入参数表示$X(x,y)=(x,y,f(x,y))$和$\bar{X}(x,y)=(x,y,\bar{f}(x,y))$，并定义函数$h(x,y,z)=f(x,y)-z$。注意$h\circ X=0$及$h\circ\bar{X}=f-\bar{f}$。从a，应用函数$h$就可得出$f-\bar{f}$有阶数$\leq2$且在$(0,0)$处等于零的偏导数。
d.由于阶数$\geq2$的接触蕴含阶数$\geq1$的接触，因此这个抛物面通过$p$且在$p$点与曲面相切。取平面$T_p(S)$为$xy$平面，则抛物面的方程变成 $$\bar{f}(x,y)=ax^2+2bxy+cy^2+dx+ey$$ 设$z=f(x,y)$是曲面在平面$T_p(S)$上的新表示，利用部分b，无门得到$d=c=0$，$a=\frac{1}{2}f_{xx}$，$b=f_{xy}$，$c=\frac{1}{2}f_{yy}$。

9.（曲线的接触）定义在$R^3$中具有公共点$p$的正则曲线在$p$点有$\geq n$（$n$是$\geq 1$的整数）阶接触，并证明：
a.$\geq n$阶接触的性质经微分同胚不变。
b.两条曲线在$p$点有$\geq1$阶接触的充分必要条件是它们在$p$点相切。
易

10.（曲线和曲面的接触）设曲线$C$和曲面$S$有公共点$p$，如果存在$S$上的过$p$点的曲线$\bar{C}$，$C$和$\bar{C}$在$p$点有$\geq n$阶接触（$n$为$\geq1$的整数），则曲线$C$和曲面$S$称为在$p$点有$\geq n$阶接触，证明：
a.若$f(x,y,z)=0$是$S$在$p$点的邻域的一个表示，$\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$是曲线$C$在$p$点附近的一个参数表示，且$\alpha(0)=p$，则$C$与$S$在$p$点有$\geq n$阶接触的充要条件是

$$f(x(0),y(0),z(0))=0,\frac{df}{dt}=0,...,\frac{d^nf}{dt^n}=0$$ 这里的导数是指在$t=0$的值。
b.若一平面与曲线$C$在$p$点有$\geq2$阶的接触，则此平面必为$C$在$p$点的密切平面。
c.若一球面与曲线$C$在$p$点有$\geq3$阶接触，$\alpha(s)$是曲线的一个参数表示，$s$为弧长，且$\alpha(0)=p$，则此球面的中心为 $$\alpha(0)+\frac{1}{k}n+\frac{k'}{k^2\tau}b$$ 这样的球面称为曲线$C$在$p$点的密切球面。
易

11.考虑猴鞍面

$$x=u,y=v,z=u^3-3v^2u$$ 作出它在$p=(0,0,0)$的杜平标线，并将这个标线与平行于$T_p(S)$且与$p$接近的平面和$S$的交线作比较。为何它们不是“近似的相似”？
易

12.考虑参数曲面

$$X(u,v)=(\sin u\cos v,\sin u\sin v,\cos u+\log\tan\frac{u}{2}+\varphi(v))$$ 其中$\varphi$是一个可微函数。证明：
a.曲线$v=const$包含在垂直于$z$轴且与曲面交成定角$\theta$的平面上，$\theta$决定于 $$\cos\theta=\frac{\varphi'}{\sqrt{1+(\varphi')^2}}$$ 并说明曲线$v=const$是曲面的曲率线。
b.曲线$v=const$在切点和$z$轴之间的切线段长恒为$1$，并说明曲线$v=const$是曳物线。
易

13.设$F:R^3\to R^3$是一个相似映照，它定义为

$$F(p)=Cp,p\in R^3$$ $C$为正的常数，$S\subset R^3$是正则曲面，$F(S)=\bar{S}$。证明$\bar{S}$是正则曲面，并找出$S$的高斯曲率$K$和平均曲率$H$与$\bar{S}$的高斯曲率$\bar{K}$和平均曲率$\bar{H}$之间的关系式。
易

14.考虑由曲线

$$y=x^3,-1<x<1$$ 绕直线$x=1$旋转所得的曲面。证明：由原点$(0,0)$旋转得到的点都是曲面的平点。
易

15.给出曲面的一个例子，它有一个孤立的抛物点$p$（即，在$p$点的某一邻域中不包含其他的抛物点）。
提示：如果存在遮掩的例子，那么局部地它可写成$z=f(x,y)$，而$f(0,0)=0$，$f_x(0,0)=f_y(0,0)=0$。所给的条件要求在$(0,0)$处$f_{xx}+f_{yy}\neq0$并且$f_{xx}f_{yy}-f_{xy}=0$当且仅当$(x,y)=(0,0)$时成立。
作为尝试，置$f(x,y)=\alpha(x)+\beta(y)+xy$，这里$\alpha(x)$只是$x$的函数，$\beta(y)$只是$y$的函数。我们证明$\alpha_{xx}=\cos x$，$\beta_{yy}=\cos y$满足上面的条件。由此得出

$$f(x,y)=\cos x+\cos y+xy-2$$ 就是一个这样的例子。

16.证明：在紧致的(即，在$R^3$中是有界的和闭的）曲面必有一个椭圆点。
提示：取一个包含这个曲面的球面然后连续地减少它的半径。研究球面第一次碰到这曲面的那些点处的法截线。

17.对不可定向的曲面定义高斯曲率。能对不可定向曲面定义平均曲率吗？
易

18.证明：莫比乌斯带能用参数表示为

$$X(u,v)=\left(\left(2-v\sin\frac{u}{2}\right)\sin u,\left(2-v\sin\frac{u}{2}\right)\cos u,v\cos\frac{u}{2}\right)$$ 其高斯曲率是 $$K=-\frac{1}{\left(\frac{1}{4}v^2+\left(2-v\sin\frac{u}{2}\right)^2\right)^2}$$ 易

19.求单叶双曲面

$$x^2+y^2-z^2=1$$ 的渐近线
提示：证明双曲面包含两个单参数的直线族，族中直线都必定是渐近线。为了找出这种直线族，将双曲面的方程写成 $$(x+z)(x-z)=(1-y)(1+y)$$ 并证明：对每一个$k\neq0$，直线$x+z=k(1+y),x-z=(1/k)(1-y)$属于曲面。

20.决定椭球面

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$ 的脐点。
提示：注意，对于某个函数$f$成立$(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2},\frac{z}{c^2})=fN$，并且对曲面上每一条曲线$\alpha(t)=(x(t),y(t),z(t))$，脐点满足方程 $$\left<\frac{d(fN)}{dt}\land\frac{d\alpha}{dt},N\right>=0$$ 假定$z\neq0$，用$\frac{z}{c^2}$乘这个方程然后消去$z$和$\frac{dz}{dt}$（注意此方程对曲面上的每一个切向量都成立）。于是就可以找到八个脐点，即 $$y=0,x^2=a^2\frac{a^2-b^2}{a^2-c^2},z^2=c^2\frac{c^2-b^2}{c^2-a^2}$$ $$x=0,y^2=b^2\frac{b^2-a^2}{b^2-c^2},z^2=c^2\frac{c^2-b^2}{c^2-a^2}$$ 若$z=0$，有四个脐点 $$z=0,x^2=a^2\frac{a^2-b^2}{a^2-c^2},y^2=b^2\frac{b^2-a^2}{b^2-c^2}$$

21.设$S$是具有定向$N$的曲面。$V\subset S$是$S$中的开集，$f:V\subset S\to R$是$V$上的可微函数，且恒不为零。$v_1$和$v_2$是$V$上的两个可微的切向量场，使在$V$的每一点$p$，$v_1$与$v_2$垂直且$v_1\land v_2=N$。
a.证明：$V$的高斯曲率$K$为

$$K=\frac{<d(fN)(v_1)\land d(fN)(v_2),fN>}{f^3}$$ 这个公示的优点在于，由对$f$的巧妙的选择，常常可以简化$K$的计算。
b.利用上面的结果证明，若$f$是 $$\sqrt{\frac{x^2}{a^4}+\frac{y^2}{b^4}+\frac{z^2}{c^4}}$$ 在椭球面 $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$$ 上的限制，则椭球面的高斯曲率是 $$K=\frac{1}{a^2b^2c^2}.\frac{1}{f^4}$$
提示：a.设$dN(v_1)=av_1+bv_2,dN(v_2)=cv_1+dv_2$。直接计算得到 $$<d(fN)(v_1)\land d(fN)(v_2),fN>=f^3\det(dN)$$ b.证明$fN=(\frac{x}{a^2},\frac{y}{b^2},\frac{z}{c^2})=W$，并注意 $$d(fN)(v_i)=\left(\frac{\alpha_i}{a^2},\frac{\beta_i}{b^2},\frac{\gamma_i}{c^2}\right),v_i=(\alpha_i,\beta_i,\gamma_i),i=1,2$$ 选择$v_i$使得$v_1\land v_2=N$，就可得到 $$<d(fN)(v_1)\land d(fN)(v_2),fN>=\frac{<W,X>}{a^2b^2c^2}\frac{1}{f}$$ 这里$X=(x,y,z)$。于是，$<W,X>=1$。

22.（Hesse函数）设$h:S\to R$是$S$上的一个可微函数，$p\in S$是$h$的临界点（即$dh_p=0$）。设$w\in T_p(S)$，

$$\alpha:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$$ 是一条参数曲线，且$\alpha(0)=p,\alpha'(0)=w$。命 $$H_ph(w)=\frac{d^2(h\circ\alpha)}{dt^2}\Big|_{t=0}$$ a.设$x:U\to S$是$S$在$p$近旁的一个参数表示，证明（这里，$p$为$h$的临界点是实质性的条件）： $$H_ph(u'x_u+v'x_v)=h_{uu}(p)(u')^2+2h_{uv}(p)u'v'+h_{vv}(p)(v')^2$$ 并推断$H_ph:T_p(S)\to R$是$T_p(S)$上确有定义的二次形式（即，它不依赖于$\alpha$的选择）。$H_ph$称为$h$在$p$点的Hesse函数。
b.设$h:S\to R$是$S$相对于$T_p(S)$的高度函数；即 $$h(q)=<q-p,N(p)>,q\in S$$ 验证$p$是$h$的临界点，于是，Hesse函数$H_ph$有意义。证明：若$w\in T_p(S),|w|=1$，则 $$H_ph(w)=-<dN_p(w),w>$$ 由此推出，相对于$T_p(S)$的高度函数在$p$点的Hesse函数是$S$在$p$点的第二基本形式。
易

23.（曲面上的Morse函数）可微函数$h:S\to R$的临界点$p\in S$称为非退化的，如果与二次形式$H_ph$（指$h$在$p$的Hesse函数）相对应得自伴随线性映照$A_ph$是非奇异的，否则就称为退化的。$S$上得一个可微函数称为Morse函数，如果它的所有的临界点都是非退化的。设$h_r:S\subset R^3\to R$是$S$对一点$r$的距离函数，即

$$h_r(q)=\sqrt{<q-r,q-r>},q\in S,r\in R^3,r\notin S$$ a.证明：点$p\in S$是$h_r$的临界点必须且只须直线$pr$是$S$在$p$点的法线。
b.设$p$是$h_r:S\to R$的临界点，$w\in T_p(S),|w|=1$。$\alpha:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$是一条以弧长为参数的参数曲线，且$\alpha(0)=p,\alpha'(0)=w$，证明： $$H_ph_r(w)=\frac{1}{h_r(p)}-k_n$$ 其中$k_n$是在$p$点沿$w$方向的法曲率，并推断若$\{e_1,e_2\}$是$T_p(S)$的标准正交基，且$e_1$和$e_2$是在$p$点的主方向，则自伴随线性映照$A_ph_r$在这组基中的表示是对角化的；进一步，$p$为$h_r$的退化临界点的充要条件是$h_r(p)=\frac{1}{k_1}$或$h_r(p)=\frac{1}{k_2}$，这里$k_1$和$k_2$是在$p$点的主曲率。
c.证明：集合 $$B=\{r\in R^3;h_r\ is\ Morse\}$$ 是$R^3$中的开和稠密的点集，稠密的意思是：在$R^3$中给定任一点的每一个邻域都有$B$中的点存在（这就证明了在任一正则曲面上有“许多”Morse函数）。
易

24.（局部凸性和曲率）曲面$S\subset R^3$称为在点$p\in S$是局部凸的，如果存在$p$的一个邻域$V\subset S$，使$V$包含在由$T_p(S)$决定的$R^3$的一个闭的半空间之内。进一步，若$V$与$T_p(S)$只有一个公共点，则$S$称为在$p$点是严格局部凸的。
a.证明：若$S$在$p$点的主曲率非零且具有相同的符号（即，高斯曲率$K(p)>0$），则$S$在$p$点是严格局部凸的。
b.证明：若$S$在$p$点是局部凸的，则在$p$点的主曲率不能有相反的符号（于是，$K(p)\geq0$）。
c.为说明$K\geq0$并不保证局部凸性，考虑曲面

$$f(x,y)=x^3(1+y^2)$$ 它定义在开集 $$U=\left\{(x,y)\in R^2;y^2<\frac{1}{2}\right\}$$ 上。证明：这个曲面的高斯曲率在$U$上是非负的，但在$(0,0)\in U$不是局部凸的（由R。Sacksteder得到的一个深入的定理可以知道，这种例子不能扩充到整个$R^2$上，如果我们坚持要求曲率保持非负的话）。
d.c中的例子在下面的局部意义中也是很特殊的。设$p$是曲面$S$上的一点，并存在$p$的一个邻域$V\subset S$使在$V$上的主曲率不能有相反的符号（这里的情况c中的例子不会发生）。证明：$S$在$p$点是局部凸的。
提示：d.在$R^3$中选择一坐标系使得点$p\in S$为原点$O$，$xy$平面与$T_p(S)$重合，$z$轴的正向与$S$在$p$点的定向相同。进一步，在$T_p(S)$中取$x$和$y$与$p$点的主方向一致。如果$V$充分小，则它可以表示为下面的可微函数的图， $$z=f(x,y),(x,y)\in D\subset R^2$$ 这里$D$是$R^2$中的开圆盘，且 $$f_x(0,0)=f_y(0,0)=f_{xy}(0,0)=0,f_{xx}(0,0)=k_1,f_{yy}(0,0)=k_2$$ 不失一般性，我们可以假定在$D$上$k_1\geq0$，$k_2\geq0$，并设法证明在$D$上$f(x,y)\geq0$。
假定对某个$(\bar{x},\bar{y})\in D$，$f(\bar x,\bar y)<0$。考察函数$h_0(t)=f(t\bar x,t\bar y),0\leq t\leq1$。由于$h_0'(0)=0$，存在$t_1$，$0\leq t_1\leq1$，使得$h_0''(t_1)<0$。设$p_1=(t_1\bar x,t_1\bar y,f(t_1\bar x,t_1\bar y))\in S$，并考虑$V$关于在$p_1$处的切平面$T_{p_1}(S)$的高度函数$h_1$。限制于曲线$\alpha(t)=(t\bar x,t\bar y,f(t\bar x,t\bar y))$时，高度函数是$h_1(t)=<\alpha(t)-p_1,N_1>$，这里$N_1$是$p_1$处的单位法向量。于是，$h_1''(t)=<\alpha''(t),N_1>$，且在$t=t_1$处， $$h_1''(t_1)=\lambda<(0,0,h_0''(t_1)),(-f_x(p_1),-f_y(p_1),1)>=\lambda h_0''(t_1)<0,\lambda>0$$ 但是$h_1''(t_1)=<\alpha''(t),N_1>$，除了一个正因子外，是$p$处在$\alpha'(t_1)$方向上的法曲率。这是一个矛盾。

3.4 向量场

定理1 设$w$是开集$U\subset R^2$上的向量场。给定$p\in U$，则存在$w$的轨线$\alpha:I\to U$（即$\alpha'(t)=w(\alpha(t)),t\in I$），且$\alpha(0)=p$。轨线按下述意义是唯一的：$w$的任何另一个使$\beta(0)=p$的轨线$\beta:J\to U$，必与$\alpha$在$I\cap J$中一致。

定理2 设$w$是开集$U\subset R^2$上的一个向量场，则对每一点$p\in U$，存在$p$的一个邻域$V\subset U$，区间$I$，和映照$\alpha:V\times I\to U$，使得
1.对固定的一点$q\in V$，曲线$\alpha(q,t)$，$t\in I$，是$w$的经过$q$的轨线；即，

$$\alpha(q,0)=q,\frac{\partial\alpha}{\partial t}(q,t)=w(\alpha(q,t))$$ 2.$\alpha$是可微的。

引理 设$w$是开集$U\subset R^2$上的一个向量场，$p\in U$，且$w(p)\neq0$，则存在$p$的一个邻域$W\subset U$和一个可微函数$f:W\to R$，使$f$沿$w$的每一轨线为常数，且对所有的$q\in W$，$df_q\neq0$。
证明 在$R^2$中选取笛卡尔坐标系使$p=(0,0)$，且$w(p)$的方向就是$x$轴的方向。设$\alpha:V\times I\to U$是在$p$点的局部流，$V\subset U$，$t\in I$，且$\bar\alpha$是$\alpha$在长方形

$$(V\times I)\cap\{(x,y,t)\in R^3;x=0\}$$ 上的限制。
由局部流的定义，$d\bar\alpha_p$将$t$轴的单位向量映到$w$，将$y$轴的单位向量映到自己。所以，$d\bar\alpha_p$是非奇异的。由此可知，必有$p$点的一个邻域$W\subset U$，在$W$中$\bar\alpha^{-1}$是确定的和可微的。$\bar\alpha^{-1}(x,y)$在$y$轴上的投影是一个可微函数$\xi=f(x,y)$，它在过$(0,\xi)$的轨线上的所有的点有相同的值$\xi$。因为$d\bar\alpha_p$是非奇异的，$W$可以取得充分小，使对所有的点$q\in W$，均有$df_q\neq0$。因此，$f$就是所需要的函数。证毕。

定义1 正则曲面$S$的开集$U\subset S$上的一个向量场是一个对应，对$U$中的每一点$p\in U$，指定一个向量$w(p)\in T_p(S)$。向量场$w$称为在$p$点是可微的，如果对$S$在$p$附近的某一个参数表示$X(u,v)$，向量场表示为

$$w(p)=a(u,v)X_u+b(u,v)X_v$$ 其中$a(u,v)$和$b(u,v)$都是可微的。显然，上述定义不依赖于$X$的选择。

定理 设$w_1$和$w_2$是曲面$S$的开集$U$上的两个向量场，它们在$U$中的某一点$p$是线性独立的。则存在$p$点的邻域$V\subset U$的参数表示，使对每一点$q\in V$，这个参数表示过$q$的坐标曲线与$w_1(q)$和$w_2(q)$所决定的直线相切。
证明 设$W$是$p$的一个邻域，在其中$f_1$和$f_2$分别是$w_1$和$w_2$的初积分。由

$$\varphi(q)=(f_1(q),f_2(q)),q\in W$$ 定义一个映照 $$\varphi:W\to R^2$$ 因为，$f_1$在$w_1$的轨线上是常数，且$(df_1)\neq0$，故在$p$点有 $$d\varphi_p(w_1)=((df_1)_p(w_1),(df_2)_p(w_1))=(0,a)$$ 其中$a=(df_2)_p(w_1)\neq0$，这是因为$w_1$和$w_2$是独立的。类似地， $$d\varphi_p(w_2)=(b,0)$$ 其中$b=(df_1)_p(w_2)\neq0$。
这就说明$d\varphi_p$是非奇异地，因此，$\varphi$是局部微分同胚。所以，存在$\varphi(p)$的邻域$\bar U\subset R^2$，由$X=\varphi^{-1}$将它映到$p$的一个邻域$V=X(\bar U)$上；即，$X$是$S$在$p$附近的一个参数表示，它的坐标曲线 $$f_1(q)=const,f_2(q)=const$$ 在$q$点分别与$w_1(q)$，$w_2(q)$所决定的直线相切。证毕。

推论1 给定在开集$U\subset S$上的两个方向场$r$和$r'$，使在$p\in U$，$r(p)\neq r'(p)$，则存在$p$点邻域中的一个参数表示$X$，使$X$的坐标曲线就是$r$和$r'$的积分曲线。

推论2 对所有的$p\in S$，都存在$p$点的一个邻域$v$中的参数表示$X(u,v)$，使坐标曲线$u=const$和$v=const$在每一点$q\in V$都是正交的（这样的$X$称为正交参数表示）。
证明 考虑在$p$附近的任一参数表示$\bar X:\bar U\to S$，并定义在$\bar X(\bar U)$中的两个向量场：$w_1=\bar X_{\bar u}$，$w_2=-\frac{\bar F}{\bar G}\bar X_{\bar u}+\bar X_{\bar v}$，其中$\bar E$，$\bar F$，$\bar G$是在$\bar X$中的第一基本形式的系数。因为$w_1(q)$和$w_2(q)$在每一点$q\in \bar X(\bar U)$都是正交的，应用上面的定理就得到需要的参数表示。证毕。

推论3 设$p\in S$是$S$的双曲点，则能在$p$的邻域中给出一个参数表示，使坐标曲线就是$S$的渐近线。

推论4 设$p$是$S$的非脐点。则存在$p$的邻域中的参数表示，使在这个参数表示中的坐标曲线是$S$的曲率线。

习题
1.证明：向量场的可微性不依赖于坐标系的选择。
易

2.证明：在环面上的所有的经线取弧长作参数时，它们的切向量所成的向量场是可微的。
易

3.证明：定义在正则曲面$S\subset R^3$上的一个向量场$w$是可微的，必须且只须映照$w:S\to R^3$是可微的。
易

4.设$S$是一曲面，$X:U\to S$是$S$的参数表示，$a(u,v)$和$b(u,v)$是可微函数，则

$$a(u,v)u'+b(u,v)v'=0$$ 决定了$X(U)$上的一个方向场$r$，它在每一点$X(u,v)$，对应一条包含向量$bX_u-aX_v$的直线。证明：在$X(U)$上存在$r$的正交场$r'$的充分必要条件是 $$Eb-Fa,Fb-Ga$$ 在处处不同时为零（这里$E$、$F$和$G$是曲面在$X$中的第一基本形式的系数），且$r'$由下式决定 $$(Eb-Fa)u'+(Fb-Ga)v'=0$$ 易

5.设$S$是一张曲面，$X:U\to S$是它的一个参数表示。如果$ac-b^2<0$，证明

$$a(u,v)(u')^2+2b(u,v)u'v'+c(u,v)(v')^2=0$$ 能被分解为二个不同的方程，其中的每一个都定义了$X(U)\subset S$上的一个方向场。再证明这两个方向场正交的充要条件是 $$Ec-2Fb+Ga=0$$ 易

6.直线$r$是一条运动的直线，运动时与$z$轴相交并保持定角$\alpha$，且$r$上的每一点画出一条围绕$z$轴间距为$c\neq0$的螺旋线，$r$所画出的图形是参数曲面

$$X(u,v)=(v\sin\alpha\cos u,v\sin\alpha\sin u,v\cos\alpha+cu)$$ 的轨迹。如意看出，$X$是正则的参数曲面。把参数(u,v)限制在一个开集$U$上，使$X(U)=S$是一个正则曲面。
a.求坐标曲线族$u=const$的正交曲线族。
b.利用曲线族$u=const$和它们的正交曲线族得到$S$的一个正交参数表示。证明：在这个新参数$(\bar u,\bar v)$中，第一基本形式的系数是 $$\bar G=1,\bar F=0,\bar E=(c^2+(\bar v^2-c\bar u\cos\alpha)^2)\sin^2\alpha$$ 易

7.定义可微函数$f:U\subset S\to R$对$U$中的一个向量场$w$的方向导数$w(f)(q)$为

$$w(f)(q)=\frac d{dt}(f\circ\alpha)\bigg|_{t=0},q\in U$$ 其中$\alpha:I\to S$是一条曲线，且$\alpha(0)=q,\alpha'(0)=w(q)$。证明：
a.$w$在$U$中是可微的充要条件是对$U$中所有的可微函数$f$，$w(f)$都是可微的。
b.设$\lambda$和$\mu$是实数，$g:U\subset S\to R$是$U$上的可微函数；则 $$w(\lambda f+\mu g)=\lambda w(f)+\mu w(g)$$ $$w(fg)=w(f)g+fw(g)$$ 易

8.证明：若$w$是曲面$S$上的一个可微的向量场，且对某一点$p\in S$，$w(p)\neq0$，则必存在$p$点邻域中的一个参数表示$X(u,v)$，使$X_u=w$。

9.a.设$V$和$W$是分别赋予内积$<,>$和$(,)$的二维向量空间，$A:V\to W$是非异的线性映照。$A$称为相似，如果存在实数$\lambda\neq0$使$(Av_1,Av_2)=\lambda<v_1,v_2>$对所有的$v_1,v_2\in V$成立。证明：若$A$不是相似，则存在$V$中唯一（精确到转$\frac \pi 2$）的一对标准正交向量$e_1$和$e_2$，使$Ae_1$和$Ae_2$在$W$中是正交的。
b.利用a去证明Tissot定理：设$\varphi:U\subset S_1\to S_2$是从曲面$S_1$上$p$点的邻域$U$到曲面$S_2$的微分同胚，$d\varphi$在每一点都不是相似。则必有$S_1$上$p$点邻域中的一个正交的参数表示$X_1:U\to S_1$，使$\varphi\circ X_1=X_2:U\to S_2$也是$S_2$上点$\varphi(p)\in S_2$的邻域中的一个正交参数表示。
易

10.设$T$使环面，由

$$\varphi(u,v)=((r\cos u+a)\cos v,(r\cos u+a)\sin v,r\sin u)$$ 定义一个映照 $$\varphi:R^2\to T$$ 这里$u$和$v$是$R^2$的笛卡尔坐标。设$u=at,v=bt$是$R^2$中过$(0,0)$的一条直线，并考虑$T$中的曲线$\alpha(t)=\varphi(at,bt)$。证明：
a.$\varphi$是局部微分同胚。
b.$\alpha(t)$是一条正则曲线；$\alpha(t)$是闭曲线的充要条件是$\frac{b}{a}$是有理数。
c.若$\frac{b}{a}$是无理数，则曲线在$T$中稠密；即，在任一点$p\in T$的每一个邻域中都有$\alpha(t)$的点。
提示：c.将问题化为这样一个事实，即如果$\lambda$是无理数，$m$和$n$取便整数，则集合$\{\lambda m+n\}$在实直线中稠密。为了证明这一事实，仅须证明集合$\{\lambda m+n\}$有任意小的正元素。加入不是这样，设法证明$\{\lambda m+n\}$的正元素的下确界仍属于$\{\lambda m+n\}$，从而得到一个矛盾。

11.利用在$U\subset S$上的向量场$w$轨线的局部唯一性去证明下面的结果。给定$p\in U$，存在$w$的唯一的轨线$\alpha:I\to U$，使$\alpha(0)=p$，且它的下述意义是极大的：任何另一轨线$\beta:J\to U$（亦有$\beta(0)=p$）必是$\alpha$在$J$上的限制（即，$J\subset I$，且$\alpha|J=\beta$）。
提示：考察$w$的轨线的集合$\{\alpha_i,I_i\to U\}$，要求$\alpha_i(0)=p$，并置$I=\cup_iI_i$。由唯一性，极大的轨线$\alpha:I\to U$可用$\alpha(t)=\alpha_i(t),t\in I_i$来定义。

12.证明：若$w$是紧致曲面$S$上的可微向量场，$\alpha(t)$是$w$的极大的轨线，且$\alpha(0)=p$，则$\alpha(t)$对所有的$t\in R$有定义。
提示：对任一$q\in S$，存在$q$的一个邻域$U$和区间$(-\varepsilon,\varepsilon)$，$\varepsilon>0$，使得$\alpha(0)=q$的轨线$\alpha(t)$在$(-\varepsilon,\varepsilon)$中是有定义的。由紧致性，可以用有限个这样的邻域覆盖$S$。设$\varepsilon_0$是相应的$\varepsilon$值的最小值。如果$\alpha(t)$对$t<t_0$有定义而对$t_0$没有定义，则取$t_1\in(0,t_0)$而$|t_0-t_1|<\frac{\varepsilon_0}2$。考察$w$的满足$\beta(t_1)=\alpha(t_1)$的轨线$\beta(t)$，得到矛盾。

13.构造在平面的开圆盘（它不是紧致的）上的可微向量场，使它的极大的轨线不能对所有的$t\in R$定义（这说明习题12中的紧致条件是实质性的）。
易

3.5 直纹面和极小曲面

A.直纹面
一个（可微的）单参数（直）线族$\{\alpha(t),w(t)\}$是一个对应，每一个$t\in I$，都对应一点$\alpha(t)\in R^3$和一个向量$w(t)\in R^3$，$w(t)\neq0$，使$\alpha(t)$和$w(t)$连续地依赖于$t$，对每一个$t\in I$，通过$\alpha(t)$平行于$w(t)$的直线$L$，称为直线族在$t$的直线。
给定一个单参数直线族$\{\alpha(t),w(t)\}$，参数曲线

$$X(t,v)=\alpha(t)+vw(t),t\in I,v\in R$$ 称为由族$\{\alpha(t),w(t)\}$生成的直纹面。直线$L_t$称为母线，曲线$\alpha(t)$称为曲面$X$的准线。有时候，直纹面的表示式意味着$X$的轨迹。应注意，我们也允许$X$有奇点，就是使$X_t\land X_v=0$的点$(t,v)$。

假定$|w(t)|=1$，$w'(t)\neq0$，一条参数曲线$\beta(t)$，使$<\beta'(t),w'(t)>=0$。$\beta$称为直纹面的腰曲线，它上面的点称为直纹面的中心点。
现取腰曲线作为直纹面的准线，则直纹面可以表示为

$$X(t,u)=\beta(t)+uw(t)$$ 由此得到 $$X_t=\beta'+uw',X_u=w$$ 和 $$X_t\land X_u=\beta'\land w+uw'\land w$$ 又由$<w',w>=0$和$<w',\beta'>=0$，得到 $$\beta'\land w=\lambda w'$$ 其中$\lambda$是$t$的某一函数$\lambda=\lambda(t)$。所以， $$|X_t\land X_u|^2=|\lambda w'+uw'\land w|^2=\lambda^2|w'|^2+u^2|w'|^2$$ $$=(\lambda^2+u^2)|w'|^2$$ 这就说明，直纹面仅有的奇点必在腰曲线$u=0$上，并且，腰曲线上的点是奇点必须且只须$\lambda(t)=0$。而 $$\lambda=\frac{(\beta',w,w')}{|w'|^2}$$ 曲面在正则点的高斯曲率为 $$K=-\frac{\lambda^2}{(\lambda^2+u^2)^2}$$ 函数$\lambda(t)$称为$X$的分布参数。

考虑曲面

$$X(t,v)=\alpha(t)+vw(t),|w(t)|=1$$ ，称为可展的，如果 $$(w,w',\alpha')=0$$

B.极小曲面
一张正则参数曲面称为极小的，如果它的平均曲率恒为零。一张正则曲面$S\subset R^3$称为极小的，如果它的每一个参数表示都是极小的。

命题1 设$X:U\to R^3$是正则的参数曲面，$D\subset U$是$U$中的有界区域。则$X$为极小的充要条件是对所有遮掩的$D$和$X(\bar D)$的所有的法向变分成立$A'(0)=0$。
证明 若$X$是极小的，即$H\equiv0$，条件显然满足。反之，若条件满足但$H(q)\neq0$，$q$是$D$中的某一点。选$h:\bar D\to R$使$h(q)=H(q)$，而$h$在$q$的一个小邻域外恒为零。则对由这个$h$决定的变分，$A'(0)<0$，这就得到矛盾。证毕。

正则参数曲面$X=X(u,v)$称为是等温的，如果$<X_u,X_u>=<X_v,X_v>$和$<X_u,X_v>=0$。

命题2 设$X=X(u,v)$是正则的参数曲面，且$X$是等温的，则

$$X_{uu}+X_{vv}=2\lambda^2\mathscr H$$ 其中$\lambda^2=<X_u,X_u>=<X_v,X_v>$。
证明 因为$X$是等温的，所以，$<X_u,X_u>=<X_v,X_v>$和$<X_u,X_v>=0$，经微分就得到 $$<X_{uu},X_u>=<X_{uv},X_v>=-<X_u,X_{uv}>$$ 所以， $$<X_{uu}+X_{vv},X_u>=0$$ 类似地， $$<X_{uu}+X{vv},X_v>=0$$ 这就说明，$X_{uu}+X_{vv}$平行于$N$。因为$X$是等温的， $$H=\frac12\frac{g+e}{\lambda^2}$$ 所以， $$2\lambda^2H=g+e=<N,X_{uu}+X_{vv}>$$ 因此， $$X_{uu}+X{vv}=2\lambda^2\mathscr H$$ 证毕。

推论 设$X(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v))$是参数曲面，且$X$是等温的。则$X$为极小的充要条件是坐标函数$x$，$y$，$z$是调和的。

现设$X:U\subset R^2\to R^3$是正则的参数曲面，并定义复函数$\varphi_1$，$\varphi_2$，$\varphi_3$如下：

$$\varphi_1(\zeta)=\frac{\partial x}{\partial u}-i\frac{\partial x}{\partial v},\varphi_2(\zeta)=\frac{\partial y}{\partial u}-i\frac{\partial y}{\partial v},\varphi_3(\zeta)=\frac{\partial z}{\partial u}-i\frac{\partial z}{\partial v}$$ 其中$x$，$y$和$z$是$X$的分量函数。

引理 当且仅当$\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3^2=0$时，$X$是等温的。若上条件满足，当且仅当$\varphi_1$，$\varphi_2$和$\varphi_3$是解析函数时，$X$是极小的。
证明 经简单的计算得到，

$$\varphi_1^2+\varphi_2^2+\varphi_3=E-G+2iF$$ 这就证明了引理的第一部分。此外，$X_{uu}+X_{vv}=0$的充要条件是 $$x_{uu}=-x_{vv},y_{uu}=-y_{vv},z_{uu}=-z_{vv}$$ 这就给出对$\varphi_1$，$\varphi_2$，$\varphi_3$的柯西黎曼方程的一半，而另一半是自动满足的，这就证明了$X_{uu}+X_{vv}=0$必须且只须$\varphi_1$，$\varphi_2$和$\varphi_3$是解析的。证毕。

定理（Osserman） 设$S\subset R^3$是$R^3$中的正则的，闭的极小曲面，且非平面。则高斯映照$N:S\to S^2$的像在球面$S^2$中是稠密的。

习题
1.证明：正螺面

$$X(u,v)=(v\cos u,v\sin u,au)$$ 是直纹面，它的腰曲线是$z$轴，分布参数是常数。
易

2.证明：在旋转双曲面$x^2+y^2-z^2=1$上，半径最小的纬圆是腰曲线，母线与它交成定角，分布参数是常数。
易

3.设$\alpha:I\to S\subset R^3$是正则曲面$S$上的一条曲线，考虑由直线族$\{\alpha(t),N(t)\}$生成的直纹面，其中$N(t)$是曲面在$\alpha(t)$的法向。证明：$\alpha(I)\subset S$是$S$的曲率线的充要条件是这个直纹面是可展的。
易

4.假设非柱面的直纹面

$$X(t,v)=\alpha(t)+vw(t),|w|=1$$ 是正则的。$w(t_1)$和$w(t_2)$是$X$的两条母线的方向，且$X(t_1,v_1)$，$X(t_2,v_2)$是这两条母线的公垂线的垂足。当$t_2\to t_1$时，这些点趋于一点$X(t_1,\bar v)$。为决定$(t_1,\bar v)$，证明下列结论：
a.公垂线的单位向量收敛于曲面在$(t_1,\bar v)$一个单位切向量。总之，在$(t_1,\bar v)$，$<w'\land w,N>=0$。
b.$\bar v=-\frac{<\alpha',w'>}{<w',w'>}$。
所以，$(t,\bar v)$是通过$t_1$的母线的中心点，这就给出了腰曲线的另一个几何解释（假定非奇异）。
易

5.直劈锥面是直纹面，它的母线$L_t$与一个不与准线$\alpha:I\to R^3$相交的定轴$r$垂直相交。
a.给出直劈锥面的一个参数表示，并决定它不是柱面的条件。
b.给出一个非柱面的直劈锥面，并求它的腰曲线和分布参数。
易

6.设

$$X(t,v)=\alpha(t)+vw(t)$$ 是可展曲面。证明，在正则点， $$<N_v,X_v>=<N_v,X_t>=0$$ 并且，沿固定的一条母线（正则点）可展曲面的切平面不变。
易

7.设$S$是正则曲面，$C\subset S$是$S$上的正则曲线，且它在每一点的切向都不是渐近方向。考虑沿$CS$的切平面族的包络。证明：经过一点$p\in C$的母线的方向与$C$在$p$点的切方向共轭。
易

8.证明：若$C\subset S^2$是单位球面$S^2$上的纬圆，则沿$CS^2$的切平面族的包络或为圆柱面，若$C$是赤道；或为圆锥面，若$C$不是赤道。
易

9.（焦曲面）。设$S$是没有抛物点或脐点的正则曲面，$X:U\to S$是$S$的参数表示，使其坐标曲线为曲率线。参数曲面

$$Y(u,v)=X(u,v)+\rho_1N(u,v)$$ $$Z(u,v)=X(u,v)+\rho_2N(u,v)$$ 称为$X(U)$的焦曲面或$X(U)$的中心曲面，其中$\rho_1=\frac1{k_1}$，$\rho_2=\frac1{k_2}$；这个名称的来源是由于，例如，$Y(u,v)$是在$X(u,v)$的对应于主曲率$k_1$的法截线的密切圆的中心。证明：
a.若$(k_1)_u$和$(k_2)_v$处处不为零，则$Y$和$Z$是正则的参数曲面。
b.在正则点，对应于$X(U)$的主方向的焦曲面上的方向是共轭的。这就是说，例如，对所有的$(u,v)\in U$，$Y_u$和$Y_v$是$Y(U)$中的共轭向量。
c.焦曲面$Y$可以构造如下：考虑$X(U)$上的曲率线$X(u,const)$，沿曲线$X(u,const)X(U)$的法线生成一可展曲面。这样的可展曲面的腰曲线在$Y(U)$上，且当$X(u,const)$描出$X(U)$时，这曲线就描出$Y(U)$。
易

10.一个单参数可微平面族$\{\alpha(t),N(t)\}$是一个对应，对每一个$t\in I$，对应一点$\alpha(t)\in R^3$和一个单位向量$N(t)\in R^3$，且使$\alpha$和$N$是可微的映照。平面族$\{\alpha(t),N(t)\}(t\in I)$称为切平面族，如果对所有的$t\in I$，$\alpha'(t)\neq0$，$N'(t)\neq0$，且$<\alpha'(t),N(t)>=0$。
a.证明：一个可微的单参数切平面族$\{\alpha(t),N(t)\}$决定一个可微的单参数直线族$\{\alpha(t),\frac{N\land N'}{|N'|}\}$，它生成的可展曲面

$$X(t,v)=\alpha(t)+v\frac{N\land N'}{|N'|}$$ 此曲面称为切平面族$\{\alpha(t),N(t)\}$的包络。
b.证明，若对所有的$t\in I,\alpha'(t)\land(N(t)\land N'(t))\neq0$，则a中的包络在$v=0$的邻域中是正则的，且$X$在$(t,0)$的单位法向量是$N(t)$。
c.设$\alpha=\alpha(s)$是$R^3$中的参数曲线，$s$是弧长，$\alpha$的曲率$k(s)$和挠率$\tau(s)$处处不为零。证明：密切平面族$\{\alpha(s),b(s)\}$是可微的单参数切平面族，且其包络是$\alpha(s)$的切线面。
易

11.设$X=X(u,v)$是正则的参数曲面。$X$的平行曲面是参数曲面

$$Y(u,v)=X(u,v)+aN(u,v)$$ 其中$a$是常数。
a.证明： $$Y_u\land Y_v=(1-2Ha+Ka^2)(X_u\land X_v)$$ 其中$K$和$H$分别是$X$的高斯曲率和平均曲率。
b.证明，在正则点，$Y$的高斯曲率是 $$\frac K{1-2Ha+Ka^2}$$ $Y$的平均曲率是 $$\frac{H-Ka}{1-2Ha+Ka^2}$$
c.若曲面$X$有常数平均曲率$c\neq0$，并考虑距$X$为$\frac1{2c}$的平行曲面。证明：这个平行曲面有常数高斯曲率$4c^2$
易

12.证明：不存在紧致得（即，在$R^3$中有界的和闭的）极小曲面。
易

13.a.设$S$是没有脐点的正则曲面。证明：$S$是极小曲面的充要条件是高斯映照$N:S\to S^2$对所有的$p\in S$和所有的$w_1,w_2\in T_p(s)$，满足

$$<dN_p(w_1),dN_p(w_2)>_{N(p)}=\lambda(p)<w_1,w_2>_p$$ 其中$\lambda(p)\neq0$是仅依赖于$p$的一个数。
b.设$X:U\to S^2$是单位球面$S^2$的用$(\bar\theta,\varphi)$给出的一个参数表示，其中$\varphi$是经度，$\bar\theta$是$\frac1{\sin\theta}$的积分，$\theta$是余纬度。考虑$\alpha$中的极小曲面$S$的一点$p$的邻域$V$，使$N:S\to S^2$限制在$V$上是微分同胚（因为$K(p)=\det(dN_p)\neq0$，由反函数定理，这样的$V$存在）。证明：参数表示$Y=N^{-1}X:U\to S$是等温的（这就给出在没有平点的极小曲面上引入等温参数的方法）。
易

14.若两个可微函数$f,g:U\subset R^2\to R$满足柯西黎曼方程

$$\frac{\partial f}{\partial u}=\frac{\partial g}{\partial v},\frac{\partial f}{\partial v}=-\frac{\partial g}{\partial u}$$ 容易看出，它们是调和的；在这种情况，$f$和$g$称为调和共轭的。设$X$和$Y$是极小曲面的等温的参数表示，且它们的分量函数是成对地调和共轭，则$X$和$Y$称为共轭的极小曲面。
证明：
a.正螺面和悬链面是共轭的极小曲面。
b.给定两个共轭的极小曲面$X$和$Y$，对所有的$t\in R$，曲面 $$Z=(\cos t)X+(\sin t)Y$$ 也是极小的。
c.b中的单参数族的所有的曲面有相同的第一基本形式： $$E=<X_u,X_u>=<Y_v,Y_v>,F=0,G=<X_v,X_v>=<Y_u,Y_u>$$ 所以，任意两个共轭的极小曲面能被一个单参数的极小曲面族连接起来，且这个族中的曲面的第一基本形式与$t$无关。
易

第4章 曲面的内蕴几何学

4.2 等距对应；共形映照

定义1 微分同胚$\varphi:S\to\bar S$是等距对应，如果对于任意的$p\in S$和$w_1,w_2\in T_p(S)$，均有

$$<w_1,w_2>_p=<d\varphi_p(w_1),d\varphi_p(w_2)>_{\varphi(p)}$$ 此时，曲面$S$和$\bar S$称为是等距的。

定义2 设$V$是点$p\in S$的一个邻域。映照$\varphi:V\to\bar S$称为在$p$的局部等距对应，如果存在$\varphi(p)\in\bar S$的一个邻域$\bar V$使得$\varphi:V\to\bar V$是等距对应。如果在$S$的每点$p$，均存在一个到$\bar S$的局部等距对应，则称曲面$S$局部等距于$\bar S$。$S$和$\bar S$称为局部等距的，如果$S$局部等距于$\bar S$而且$\bar S$局部等距于$S$。

命题1 假定存在参数表示$X:U\to S$和$\bar X:U\to\bar S$使得$E=\bar E,F=\bar F,G=\bar G$。则映照$\varphi=\bar X\circ X^{-1}:X(U)\to\bar S$为一局部等距对应。
证明 设$p\in X(U)$及$w\in T_p(S)$。则$w$是曲线$X(\alpha(t))$在$t=0$的切向量，其中$\alpha(t)=(u(t),v(t))$是$U$中的一条曲线。因此，在$t=0$，$w$可以表示为

$$w=X_uu'+X_vv'$$ 根据定义，向量$d\varphi_p(w)$是曲线$\bar X\circ X^{-1}\circ X(\alpha(t))$的切向量。即曲线$\bar X(\alpha(t))$在$t=0$的切向量。
因此， $$d\varphi_p(w)=\bar X_uu'+\bar X_vv'$$ 由于 $$I_p(w)=E(u')^2+2Fu'v'+G(v')^2$$ $$I_{\varphi(p)}(d\varphi_p(w))=\bar E(u')^2+2\bar Fu'v'+\bar G(v')^2$$ 所以，对所有$p\in X(U)$和所有$w\in T_p(S)$，均有 $$I_p(w)=I_{\varphi(p)}(d\varphi_p(w))$$ 因此，$\varphi$是等距对应。证毕。

定义3 微分同胚$\varphi:S\to\bar S$称为共形映照，如果对所有$p\in S,v_1,v_2\in T_p(S)$，我们有

$$<d\varphi_p(v_1),d\varphi_p(v_2)>_{\varphi(p)}=\lambda^2(p)<v_1,v_2>_p$$ 其中$\lambda^2$为$S$上处处非零的可微函数；这时曲面$S$和$\bar S$称做是共形的。从$p$点的邻域$V$到$\bar S$的映照：$\varphi:V\to\bar S$称为$p$点附近的局部共形映照，如果存在$\varphi(p)$的邻域$\bar V$使得$\varphi:V\to\bar V$是共形映照。如果对于每点$p\in S$，均存在一个$p$点附近的局部共形映照则称曲面$S$局部共形于$\bar S$。

命题2 设$X:U\to S,\bar X:U\to\bar S$为参数表示使得$E=\lambda^2\bar E,F=\lambda^2\bar F,G=\lambda^2\bar G$在$U$中成立，这里$\lambda^2$是在$U$中处处非零的可微函数。则映照$\varphi=\bar X\circ X^{-1}:X(U)\to\bar S$是一局部共形映照。

定理 任何两个正则曲面是局部共形的。

习题
1.设映照$F:U\subset R^2\to R^3$为

$$F(u,v)=(u\sin\alpha\cos v,u\sin\alpha\sin v,u\cos\alpha)$$ $$(u,v)\in U={(u,v)\in R^2;u>0},\alpha=const$$ a.证明$F$是$U$到锥面$C$的局部微分同胚。锥面$C$的顶点为原点，锥顶角为$2\alpha$。
b.$F$是局部等距对应吗？
易

2.证明命题1的“逆”：设$\varphi:S\to\bar S$是等距对应，且$X:U\to S$为$p\in S$附近的参数表示，则$\bar X=\varphi\circ X$为$\varphi(p)$附近的参数表示且$E=\bar E,F=\bar F,G=\bar G$。
易

3.证明：微分同胚$\varphi:S\to\bar S$为等距对应的充要条件是$S$上任何参数曲线的弧长等于$\varphi$下的像曲线的弧长。$|d\varphi_p(\alpha'(0))|>|\alpha'(0)|$，从而在$0$的一个含在$(-\varepsilon,\varepsilon)$中的邻域$J$内，我们有$|d\varphi_p(\alpha'(t))|>|\alpha'(t)|$。这意味着$\alpha(J)$的长度大于$\varphi\circ\alpha(J)$的长度，这是一矛盾。

4.利用球极投影，证明球面局部共形于平面。
易

5.设$\alpha_1:I\to R^3$，$\alpha_2:I\to R^3$是正则参数曲线，其参数为弧长。假设$\alpha_1$的曲率$k_1$和$\alpha_2$的曲率$k_2$满足$k_1(s)=k_2(s)\neq0,s\in I$。令

$$X_1(s,v)=\alpha_1(s)+v\alpha_1'(s)$$ $$X_2(s,v)=\alpha_2(s)+v\alpha_2'(s)$$ 为它们的（正则）切线面且令$V$为$(s_0,v_0)$的一个邻域，使得$X_1(V)\subset R^3,X_2(V)\subset R^3$是正则曲面。证明：$X_1\circ X_2^{-1}:X_2(V)\to X_1(V)$是一等距对应。
易

6.设$\alpha:I\to R^3$为一正则参数曲线，其曲率$k(t)\neq0,t\in I$。令$X(t,v)$为它的切线面。证明：对每点$(t_0,v_0)\in I\times(R-\{0\})$均存在$(t_0,v_0)$的一个邻域$V$使得$X(V)$等距于平面的一个开集。（因此，切线面局部等距于平面。）
提示：在$t_0$的一个邻域内用弧长$s$作为$\alpha$的参数。在平面中作一曲线具曲率$k=k(s)$，然后应用习题5。

7.设$V$和$W$为（有限维）向量空间，其内积记作$<,>$并设$F:V\to W$为线性映照。证明：下列条件等价：
a.对所有$v_1,v_2\in V$有$<F(v_1),F(v_2)>=<v_1,v_2>$。
b.对所有$v\in V$，$|F(v_1)|=|v|$。
c.若$\{e_1,...,e_n\}$为$V$的标准正交基，则$\{F(v_1),...,F(v_n)\}$为$W$的标准正交基。
d.存在$V$的一组标准正交基$\{v_1,...,v_n\}$使得$\{F(v_1),...,F(v_n)\}$为$W$的标准正交基。
若上述条件中的任何一个被满足，则称$F$为$V$到$W$的线性等距对应。（当$W=V$，线性等距对应常叫做正交变换。）
易

8.设映照$G:R^3\to R^3$适合

$$|G(p)-G(q)|=|p-q|,\forall p,q\in R^3$$ （也就是说，$G$是保距映照）。证明：存在$p_0\in R^3$和向量空间$R^3$的一线性等距对应$F$使得对所有$p\in R^3$， $$G(p)=F(p)+p_0$$
提示：置$o=(0,0,0),G(o)=p_0,G(p)-p_0=F(p)$。于是，映照$F:R^3\to R^3$满足$F(o)=0$且$|F(p)|=|G(p)-G(o)|=|p|$。这说明$F$保持$R^3$的内积。于是，它将基 $$\{(1,0,0)=f_1,(0,1,0)=f_2,(0,0,1)=f_3\}$$ 映成一个标准正交基，而且若$p=\Sigma a_if_i,i=1,2,3$，则$F(p)=\Sigma a_iF(f_i)$。因此，$F$是线性的。

9.设$S_1$，$S_2$和$S_3$为正则曲面。证明：
a.若$\varphi:S_1\to S_2$为等距对应，则$\varphi^{-1}:S_2\to S_1$也是等距对应。
b.若$\varphi:S_1\to S_2,\psi:S_2\to S_3$是等距对应，则$\psi\circ\varphi:S_1\to S_3$是等距对应。
这表明正则曲面$S$的等距对应自然构成一个群，叫做$S$的等距群。
易

10.设$S$为旋转面。证明：关于旋转轴的旋转是$S$的等距对应。
易

11.a.设$S\subset R^3$为正则曲面并设$F:R^3\to R^3$为$R^3$的保距映照使得$F(S)\subset S$。证明：$F$限制在$S$上是$S$的等距对应。
b.利用上题证明：单位球面$x^2+y^2+z^2=1$的等距群包含于$R^3$的正交线性变换群内。（个人怀疑这题本来是想要证明包含，不是包含于）
c.举例说明存在等距对应$\varphi:S_1\to S_2$，它不能扩张为保距映照$F:R^3\to R^3$。
提示：a.由于$F$是保持距离不变的，而且一条可微分曲线的弧长是它的内接多边形的边长的极限，因此$F$在$S$上的限制$F|S$保持$S$中曲线的弧长不变。
c.考察平面上的一块开带形到去掉一条母线的圆柱上的等距。

12.设$C=\{(x,y,z)\in R^3;x^2+y^2=1\}$为圆柱面。构造一等距对应$\varphi:C\to C$使得$\varphi$的不动点集，即，集合$\{p\in C;\varphi(p)=p\}$恰好为两个点。
提示：$F(x,y,z)=(x,-y,-z)$在$C$上的限制是$C$的一个等距，它的不动点是$(1,0,0)$和$(-1,0,0)$。

13.设$V$和$W$为有限维向量空间，其内积为$<,>$。设$G:V\to W$为线性映照。证明下列条件等价：
a.存在实常数$\lambda\neq0$使得：

$$<G(v_1),G(v_2)>=\lambda^2<v_1,v_2>$$ 对所有$v_1,v_2\in V$成立。
b.存在实常数$\lambda>0$使对任意$v\in V$有 $$|G(v)|=\lambda|v|$$ c.存在$V$的一组标准正交基$\{v_1,...,v_n\}$使得$\{G(v_1),...,G(v_n)\}$是$W$的正交基。而且向量$G(V_i),i=1,...,n$的长度相等（$\neq0$）。
若上述任一条件被满足，则$G$叫做线性共形映照（或相似映照）。
易

14.我们称可微映照$\varphi:S_1\to S_2$保角，如果对每个$p\in S_1$和每组$v_1,v_2\in T_p(S_1)$有

$$\cos(v_1,v_2)=\cos(d\varphi_p(v_1),d\varphi_p(v_2))$$ 证明：$\varphi$是局部共形映照的充要条件是$\varphi$保角。
易

15.设$\varphi:R^2\to R^2$由$\varphi(x,y)=(u(x,y),v(x,y))$确定，其中$u$和$v$是可微函数适合柯西黎曼方程

$$u_x=v_y,u_y=-v_x$$ 证明：$\varphi$是从$R^2-Q$到$R^2$的局部共形映照，其中$Q=\{(x,y)\in R^2;u_x^2+u_y^2=0\}$。
易

16.设$X:U\subset R^2\to R^3$，其中

$$U=\{(\theta,\varphi)\in R^2;0<\theta<\pi,0<\varphi<2\pi\}$$ $$X(\theta,\varphi)=(\sin\theta\cos\varphi,\sin\theta\sin\varphi,\cos\theta)$$ 为单位球面$S^2$的参数表示。设 $$\log\tan(\frac12\theta)=u,\varphi=v$$ 证明：坐标邻域$X(U)=V$有新的参数表示 $$Y(u,v)=(\frac{\cos v}{\cosh u},\frac{\sin v}{\cosh u},-\tanh u)$$ 证明：对于参数表示$Y$，第一基本形式的系数是 $$E=G=\frac1{\cosh^2u},F=0$$ 因此，$Y^{-1}:V\subset S^2\to R^2$是一共形映照，它把$S^2$的子午线和纬线映成平面的直线。这叫做Mercator投影。
易

17.考虑单位球上的一个三角形，它的边为斜驶线（即与子午线的交角为常数的曲线），并且三角形不包含南北极。证明：这样的三角形的内角和为$\pi$。
提示：斜驶线与球面的经线交成固定角。在Mercator投影下，经线变成平面上的平行直线。由于Mercator投影是共形的，因此斜驶线也变成直线。于是，球面上的那个三角形的内角和，等于一个

18.微分同胚$\varphi:S\to\bar S$称为保面积映照，如果任意区域$R\subset S$的面积等于$\varphi(R)$的面积。证明：如果$\varphi$既保面积又共形，则$\varphi$为等距映照。
易

19.设$S^2=\{(x,y,z)\in R^3;x^2+y^2+z^2=1\}$为单位球。$C=\{(x,y,z)\in R^3;x^2+y^2=1\}$为外切圆柱面。设映照$\varphi:S^2-\{(0,0,1)\cup(0,0,-1)\}=M\to C$。
其定义如下：对每点$p\in M$，过$p$点且垂直于$oz$的直线交$oz$于点$q$。令$l$为从$q$出发且包含$p$的射线。定义$\varphi(p)=C\cap l$。
证明：$\varphi$为保面积微分同胚。
易

20.设$X:U\subset R^2\to S$为旋转面$S$的参数表示：

$$X(u,v)=(f(v)\cos u,f(v)\sin u,g(v)),f(v)>0$$ $$U=\{(u,v)\in R^2;0<u<2\pi,a<v<b\}$$ a.证明：映照$\varphi:U\to R^2$ $$\varphi(u,v)=\left(u,\int\frac{\sqrt{(f'(v))^2+(g'(v))^2}}{f(v)}dv\right)$$ 是局部微分同胚。

b.利用上题证明旋转曲面$S$局部共形于平面。并可使得每一局部共形映照$\theta:V\subset S\to R^2$把邻域$V$的子午线和纬线映成$\theta(V)\subset R^2$中的正交直线。（注意这是习题16的Mercator投影的推广）。
c.证明：映照$\psi:U\to R^2$

$$\psi(u,v)=\left(u,\int f(v)\sqrt{(f'(v))^2+(g'(v))^2}dv\right)$$ 是一局部微分同胚。
d.利用上题证明：对旋转曲面$S$的每点$p$，存在邻域$V\subset S$和保面积映照$\bar\theta:V\to R^2$。
易

4.3 高斯定理和相容性方程

设

$$\left[\begin{matrix}X_{uu}\\X_{uv}\\X_{vu}\\X_{vv}\\N_u\\N_v\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\Gamma_{11}^1&\Gamma_{11}^2&L_1\\\Gamma_{12}^1&\Gamma_{12}^2&L_2\\\Gamma_{21}^1&\Gamma_{21}^2&\bar L_2\\\Gamma_{22}^1&\Gamma_{22}^2&L_3\\a_{11}&a_{21}&0\\a_{12}&a_{22}&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}X_u\\X_v\\N\end{matrix}\right]$$ 系数$\Gamma_{ij}^k,i,j,k=1,2$称作$S$关于参数表示$X$的克里斯托福符号。显然，克里斯托福符号关于下标是对称的。显然$L_1=e,L_2=\bar L_2=f,L_3=g$
取前四行将左右同时乘 $$\left[\begin{matrix}X_u&X_v\end{matrix}\right]$$ 得 $$\left[\begin{matrix}\frac12E_u&F_u-\frac12E_v\\\frac12E_v&\frac12G_u\\\frac12E_v&\frac12G_u\\F_v-\frac12G_u&\frac12G_v\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\Gamma_{11}^1&\Gamma_{11}^2&e\\\Gamma_{21}^1&\Gamma_{21}^2&f\\\Gamma_{12}^1&\Gamma_{12}^2&f\\\Gamma_{22}^1&\Gamma_{22}^2&g\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}E&F\\F&G\\0&0\end{matrix}\right]$$ 其中每一行构成一个判别式为$EG-F^2\neq0$的二元线性方程组，这就提供了解出克里斯托福符号的方法。

考虑

$$\left[\begin{matrix}X_{uu}\\X_{uv}\\N_u\end{matrix}\right]_v=\left[\begin{matrix}X_{uv}\\X_{vv}\\N_v\end{matrix}\right]_u$$ 以及$X_u,X_v,N$的独立性，得： $$\left[\begin{matrix}\Gamma_{11}^1&\Gamma_{11}^2&e\\\Gamma_{12}^1&\Gamma_{12}^2&f\\a_{11}&a_{21}&0\end{matrix}\right]_v+\left[\begin{matrix}\Gamma_{11}^1&\Gamma_{11}^2&e\\\Gamma_{12}^1&\Gamma_{12}^2&f\\a_{11}&a_{21}&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\Gamma_{12}^1&\Gamma_{12}^2&f\\\Gamma_{22}^1&\Gamma_{22}^2&g\\a_{12}&a_{22}&0\end{matrix}\right]$$ $$=$$ $$\left[\begin{matrix}\Gamma_{12}^1&\Gamma_{12}^2&f\\\Gamma_{22}^1&\Gamma_{22}^2&g\\a_{12}&a_{22}&0\end{matrix}\right]_u+\left[\begin{matrix}\Gamma_{12}^1&\Gamma_{12}^2&f\\\Gamma_{22}^1&\Gamma_{22}^2&g\\a_{12}&a_{22}&0\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\Gamma_{11}^1&\Gamma_{11}^2&e\\\Gamma_{12}^1&\Gamma_{12}^2&f\\a_{11}&a_{21}&0\end{matrix}\right]$$
将$a$代入得： $$(\Gamma_{12}^2)_u-(\Gamma_{11}^2)_v+\Gamma_{12}^1\Gamma_{11}^2+\Gamma_{12}^2\Gamma_{12}^2-\Gamma_{11}^2\Gamma_{22}^2-\Gamma_{11}^1\Gamma_{12}^2=-EK$$ $$(\Gamma_{12}^1)_u-(\Gamma_{11}^1)_v+\Gamma_{12}^1\Gamma_{12}^2-\Gamma_{22}^1\Gamma_{11}^2=-FK$$ $$(\Gamma_{12}^2)_v-(\Gamma_{22}^2)_u+\Gamma_{12}^1\Gamma_{12}^2-\Gamma_{22}^1\Gamma_{11}^2=-FK$$ $$(\Gamma_{12}^1)_v-(\Gamma_{22}^2)_u+\Gamma_{12}^2\Gamma_{22}^1+\Gamma_{12}^1\Gamma_{12}^1-\Gamma_{11}^1\Gamma_{22}^1-\Gamma_{22}^2\Gamma_{12}^1=-GK$$ $$e_v-f_u=e\Gamma_{12}^1+f(\Gamma_{12}^2-\Gamma_{11}^1)-g\Gamma_{11}^2$$ $$g_u-f_v=g\Gamma_{12}^2+f(\Gamma_{12}^1-\Gamma_{22}^2)-e\Gamma_{22}^1$$
前四行叫做高斯公式，后两行叫做Mainardi-Codazzi方程
注意到$\Gamma$只与第一基本形式及其一阶导有关，得到：
绝妙的定量（高斯）曲面的高斯曲率$K$在局部等距对应下保持不变。
为方便起见，直接用$E,F,G$表示出$\Gamma$： $$\Gamma_{11}^1=\frac{\frac12GE_u-FF_u+\frac12FE_v}{EG-F^2}\\\Gamma_{11}^2=\frac{EF_u-\frac12EE_v-\frac12FE_u}{EG-F^2}\\\Gamma_{12}^1=\frac{\frac12GE_v-\frac12FG_u}{EG-F^2}\\\Gamma_{12}^2=\frac{\frac12EG_u-\frac12FE_v}{EG-F^2}\\\Gamma_{22}^1=\frac{GF_v-\frac12GG_u-\frac12FG_v}{EG-F^2}\\\Gamma_{22}^2=\frac{\frac12EG_v-FF_v+\frac12FG_u}{EG-F^2}$$
为方便起见，直接用$E,F,G$表示出$K$： $$K=\frac{\left|\begin{matrix}-\frac12E_{vv}+F_{uv}-\frac12G_{uu}&\frac12E_u&F_u-\frac12E_v\\F_v-\frac12G_u&E&F\\\frac12G_v&F&G\end{matrix}\right|-\left|\begin{matrix}0&\frac12E_v&\frac12G_u\\\frac12E_v&E&F\\\frac12G_u&F&G\end{matrix}\right|}{(EG-F^2)^2}$$
定理（Bonnet） 设$E,F,G,e,f,g$是定义在开集$V\subset R^2$上的可微函数，$E>0$和$G>0$。假设给定的函数形式上满足高斯方程和Mainardi-Codazzi方程，并且$EG-F^2>0$。则对每一点$q\in V$存在$q$的领域$U\subset V$和微分同胚$X:U\to X(U)\subset R^3$，使得正则曲面$X(U)\subset R^2$分别以$E,F,G$和$e,f,g$作为第一基本形式和第二基本形式的系数。进而，如果$U$连通并且 $$\bar X:U\in \bar X(U)\subset R^3$$ 是满足同样条件的微分同胚，则在$R^3$中存在平移$T$和正常线性正交变换$\rho$使得$\bar X=T\circ\rho\circ X$。
此定理的证明见本章附录。

习题

1.证明：如果$X$为正交参数表示，即$F=0$，则

$$K=-\frac1{2\sqrt{EG}}\left\{\left(\frac{E_v}{\sqrt{EG}}\right)_v+\left(\frac{G_u}{\sqrt{EG}}\right)_u\right\}$$ 易

2.证明：如果$X$为等温参数表示，即$E=G=\lambda(u,v)$且$F=0$，则

$$K=-\frac1{2\lambda}\Delta(\log\lambda)$$ 其中$\Delta\varphi$表示函数$\varphi$的拉普拉斯算子$\frac{\partial^2\varphi}{\partial u^2}+\frac{\partial^2\varphi}{\partial v^2}$。由此证明：当$E=G=(u^2+v^2+C)^{-2}$且$F=0$时，则$K=const=4C$。
易

3.证明：曲面

$$X(u,v)=(u\cos v,u\sin v,\log u)$$ $$\bar X(u,v)=(u\cos v,u\sin v,v)$$ 在$X(u,v)$和$\bar X(u,v)$具有相同的高斯曲率，但映照$\bar X\circ X^{-1}$不是等距对应。这表明高斯定理的“逆”不成立。
易

4.证明：球面上任一点的邻域都不能等距对应到平面内去。
易

5.如果坐标曲线构成Tchebyshef网，则$E=G=1$且$F=\cos\theta$。证明

$$K=-\frac{\theta_{uv}}{\sin\theta}$$ 易

6.利用Bonnet定理证明：不存在曲面$X(u,v)$使得$E=G=1$，$F=0$并且$e=1$，$g=-1$，$f=0$。
易

7.是否存在曲面$X=X(u,v)$使$E=1,F=0,G=\cos^2u$并且$e=\cos^2u,f=0,g=1$？
易

8.计算平面的开集的克里斯托福符号：
a.用迪卡儿坐标。
b.用极坐标。
对每一情形利用高斯公式计算$K$。
易

9.论证：下列曲面为什么两两均不局部等距？
a.球面。
b.柱面。
c.鞍面$z=x^2-y^2$。
易

4.4 平行移动；测地线

定义1 设$w$为开集$U\subset S$上的向量场。设$p\in U$且$y\in T_p(S)$。考虑参数曲线

$$\alpha:(-\varepsilon,\varepsilon)\to U,\alpha(0)=p,\alpha'(0)=y$$ 并设$w'(t),t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$，为向量场$w$在曲线$\alpha$上的限制。将向量$\frac{dw}{dt}(0)$垂直投影到切平面$T_p(S)$上，所得的向量场称为向量场$w$对于向量$y$在$p$点的协变导数。这个协变导数记成$\frac{Dw}{dt}(0)$或$(D_yw)(p)$。

定义2 一条参数曲线$\alpha:[0,l]\to S$是$(0-\varepsilon,l+\varepsilon),\varepsilon>0$，到$S$的可微映照在$[0,l]$上的限制。如果$\alpha(0)=p$和$\alpha(l)=q$，我们说$\alpha$连接$p$和$q$。如果对所有$t\in[0,l],\alpha'(t)\neq0$，就称$\alpha$是正则曲线。

定义3 设$\alpha:I\to S$为$S$上的参数曲线。沿$\alpha$的向量场$w$是一种对应，它将每一点$t\in I$对应于一个向量

$$w(t)=T_{\alpha(t)}(S)$$ 向量场$w$在$t_0\in I$可微，如果对于$S$在$\alpha(t_0)$附近的某一参数表示$X(u,v),w(t)=aX_u+bX_v$的分量$a(t),b(t)$在$t_0$为$t$的可微函数。如果$w$对每点$t\in I$均可微，就称$w$在$I$可微。

定义4 设$w$为沿$\alpha:I\to S$的可微向量场。则$\frac{Dw}{dt}(t),t\in I$，的表达式有意义，并成为$w$在$t$的协变导数。

定义5 沿参数曲线$\alpha:I\to S$的向量场称为平行，如果对所有的$t\in I$，$\frac{Dw}{dt}=0$。

命题1 设$w$和$v$是沿$\alpha:I\to S$的平行向量场，则$<w(t),v(t)>$为常数。特别地，$|w(t)|$和$|v(t)|$是常数而且$v(t)$和$w(t)$的交角为常数。
证明 向量场$w$沿$\alpha$平行这句话的意思是$\frac{dw}{dt}$垂直于曲面在$\alpha(t)$处的切面；也就是说，

$$<v(t),w'(t)>=0,t\in I$$ 另一方面，$v'(t)$也垂直于$S$在$\alpha(t)$的切平面。因此， $$<v(t),w(t)>'=<v'(t),w(t)>+<v(t),w'(t)>=0$$ 即$<v(t),w(t)>=const$。证毕。

命题2 沿$\alpha:I\to S$是$S$上的一条参数曲线并设$w_0\in T_{\alpha(t_0)}(S),t_0\in I$。则沿$\alpha(t)$存在唯一的平行向量场$w(t)$使得$w(t_0)=w_0$。

定义6 设$\alpha:I\to S$是一参数曲线。并设$w_0\in T_{\alpha(t_0)}(S),t_0\in I$。设$w$为沿$\alpha$的平行向量场且有$w(t_0)=w_0$。则向量$w(t_1), t_1\in I$，称为$w_0$沿$\alpha$到$t_1$点的平行移动。

定义7 映照$\alpha:[0,l]\to S$是一分段正则的参数曲线，若果$\alpha$连续并且存在区间$[0,l]$的一个分割

$$0=t_0<t_1<...<t_K<t_{K+1}=l$$ 使得$\alpha$限制到$[t_i,t_{i+1}],i=0,1,...,K$，上为正则参数曲线。每个，$\alpha|_{[t_i,t_{i+1}]}$叫做$\alpha$的正则弧。

定义8 一条非常值的参数曲线$\gamma:I\to S$称为在$t\in I$是测地的，如果切向量场$\gamma'(t)$沿$\gamma$在$t$处平行；亦即

$$\frac{D\gamma'(t)}{dt}=0$$ $\gamma$是参数测地线，如果$\gamma$对所有$t\in I$均是测地的。

定义8a 曲线$S$上的一条正则连通曲线$C$称为测地线，如果对每点$p\in C$，$C$在$p$的邻域中以弧长作参数的参数表示$\alpha(s)$是参数测地线；亦即，$\alpha'(s)$是沿$\alpha(s)$的平行向量场。

定义9 设$w$为定向曲面$S$上沿参数曲线$\alpha:I\to S$的可微单位向量场。由于$w(t),t\in I$，是单位向量，所以$\frac{dw}{dt}(t)$与$w(t)$垂直，因此，

$$\frac{Dw}{dt}=\lambda(N\land w(t))$$ 实数$\lambda=\lambda(t)$，记作$\left[\frac{Dw}{dt}\right]$，称为$w$在$t$的协变导数的代数值。

定义10 设$C$是定向曲面$S$上的定向正则曲线，并设$\alpha(s)$是$C$在点$p\in S$的附近以弧长$s$作参数的参数表示。$\alpha'(s)$在$p$点的协变导数的代数值$\left[\frac{D\alpha'(s)}{ds}\right]=k_g$称为曲线$C$在$p$点的测地曲率。

引理1 设$a$和$b$是$I$上的可微函数$a^2+b^2=1$。设$\varphi_0$满足$a(t_0)=\cos\varphi_0,b(t_0)=\sin\varphi_0$，则可微函数

$$\varphi=\varphi_0+\int_{t_0}^t(ab'-ba')dt$$ 适合$\cos\varphi(t)=a(t),\sin\varphi(t)=b(t),t\in I$，以及$\varphi(t_0)=\varphi_0$。
证明 只需证明函数 $$(a-\cos\varphi)^2+(b-\sin\varphi)^2$$ $$=2-2(a\cos\varphi+b\sin\varphi)$$ 恒等于零。或者说 $$A=a\cos\varphi+b\sin\varphi=1$$ 利用$aa'=-bb'$及$\varphi$的定义，容易得到 $$A'=-a(\sin\varphi)\varphi'+b(\cos\varphi)\varphi'+a'\cos\varphi+b'\sin\varphi$$ $$=-b'(\sin\varphi)(a^2+b^2)-a'(\cos\varphi)(a^2+b^2)+a'\cos\varphi+b'\sin\varphi$$ $$=0$$ 因此，$A(t)=const$，但因$A(t_0)=1$，引理得证。证毕。

引理2 设$v(t)$和$w(t)$是沿曲线$\alpha:I\to S$的可微向量场，而且$|w(t)|=|v(t)|=1,t\in I$。则

$$\left[\frac{Dw}{dt}\right]-\left[\frac{Dv}{dt}\right]=\frac{d\varphi}{dt}$$ 其中$\varphi$可微地度量了$v$到$w$的夹角。
证明 引进向量$\bar v=N\land v$和$\bar w=N\land w$。则 $$w=(\cos\varphi)v+(\sin\varphi)\bar v$$ $$\bar w=N\land w$$ $$=(\cos\varphi)N\land v(\sin\varphi)\land\bar v$$ $$=(\cos\varphi)\bar v-(\sin\varphi)v$$ 将$w$关于$t$作微分，我们得到 $$w'=-(\sin\varphi)\varphi'v+(\cos\varphi)v'+(\cos\varphi)\varphi'\bar v+(\sin\varphi)\bar v'$$ 将上式与$\bar w$作内积并利用$\bar w$，在注意到$<v,\bar v>=0,<v,v'>=0$，我们得到 $$<w',\bar w>=(\sin^2\varphi)\varphi'+(\cos^2\varphi)<v',\bar v>+(\cos^2\varphi)\varphi'-(\sin^2\varphi)<\bar v',v>$$ $$=\varphi'+(\cos^2\varphi)<v',\bar v>-(\sin^2\varphi)<\bar v',v>$$ 另一方面，因为$<v,\bar v>=0$，即$<v',\bar v>=-<v,\bar v'>$，所以有 $$<w',\bar w>=\varphi'+(\cos^2\varphi+\sin^2\varphi)<v',\bar v>=\varphi'+<v',\bar v>$$ 因为 $$<w',\bar w>=\left<\frac{dw}{dt},\bar w\right>=\left[\frac{Dw}{dt}\right]<N\land w,\bar w>=\left[\frac{Dw}{dt}\right]$$ 由此可得 $$\left[\frac{Dw}{dt}\right]=<w',\bar w>=\varphi'+<v',\bar v>=\frac{d\varphi}{dt}+\left[\frac{Dv}{dt}\right]$$ 引理得证。证毕。

命题3 设$X(u,v)$为定向曲面$S$的某一邻域的正交参数表示（即$F=0$），以及$w(t)$是沿曲线$X(u(t),v(t))$的可微单位向量场。则

$$\left[\frac{Dw}{dt}\right]=\frac1{2\sqrt{EG}}\left\{G_u\frac{dv}{dt}-E_v\frac{du}{dt}\right\}+\frac{d\varphi}{dt}$$ 其中$\varphi(t)$是从$X_u$到$w(t)$的定向夹角。
证明 设$e_1=\frac{X_u}{\sqrt E},e_2=\frac{X_v}{\sqrt G}$为坐标曲线的单位切向量。注意到$e_1\land e_2=N$，这里$N$是曲面$S$的定向，利用引理2，我们有 $$\left[\frac{Dw}{dt}\right]=\left[\frac{de_1}{dt}\right]+\frac{d\varphi}{dt}$$ 其中$e_1(t)=e_1(u(t),v(t))$为向量场$e_1$到曲线$X(u(t),v(t))$的限制。现在 $$\left[\frac{De_1}{dt}\right]=\left<\frac{de_1}{dt},N\land e_1\right>=\left<\frac{de_1}{dt},e_2\right>$$ $$=<(e_1)_u,e_2>\frac{du}{dt}+<(e_1)_v,e_2>\frac{dv}{dt}$$ 另一方面，由于$F=0$，我们有 $$<X_{uu},X_v>=-\frac12E_v$$ 因此 $$<(e_1)_u,e_2>=\left<\left(\frac{X_u}{\sqrt E}\right)_u,\frac{X_v}{\sqrt G}\right>=-\frac12\frac{E_v}{\sqrt{EG}}$$ 类似地 $$<(e_1)_v,e_2>=\frac12\frac{G_u}{\sqrt{EG}}$$ 将这些关系式带入到$\left[\frac{Dw}{dt}\right]$的表达式，我们最终得到 $$\left[\frac{Dw}{dt}\right]=\frac1{2\sqrt{EG}}\left\{G_u\frac{dv}{dt}-E_v\frac{du}{dt}\right\}+\frac{d\varphi}{dt}$$ 证毕。

命题2的证明 首先假设参数曲线$\alpha:I\to S$包含于正交参数表示$X(u,v)$的一个坐标邻域内。采用命题3的记号，则向量场$w$平行的条件变为

$$\frac{d\varphi}{dt}=-\frac1{2\sqrt{EG}}\left\{G_u\frac{dv}{dt}-E_v\frac{du}{dt}\right\}=B(t)$$ $X_u$到$w_0$的定向夹角记作$\varphi_0$。向量场$w$完全由 $$\varphi=\varphi_0+\int_{t_0}^tB(t)dt$$ 确定，这证明了$w$的存在性和唯一性。
如果$\alpha(I)$不包含在一个坐标邻域内，我们利用$I$的紧致性把$\alpha(I)$分成有限段，使每一段包含在一个坐标邻域内。在这些段的非空交集中，利用前一部分证明的唯一性，容易把结论推广到整个区间。证毕。

命题4（刘维尔） 设$\alpha(s)$是定向曲面$S$上的一条正则定向曲线$C$在一点$p\in S$附近的弧长参数表示。并设$X(u,v)$是$S$在$p$点附近的正交参数表示以及$\varphi(S)$是$X_u$与$\alpha'(s)$的定向夹角。则

$$k_g=(k_g)_1\cos\varphi+(k_g)_2\sin\varphi+\frac{d\varphi}{ds}$$ 其中$(k_g)_1$和$(k_g)_2$分别为坐标曲线$u=const$和$v=const$的测地曲率。
证明 在命题3中置$w=\alpha'(s)$，我们得到 $$k_g=\frac1{2\sqrt{EG}}\left\{G_u\frac{dv}{ds}-E_v\frac{du}{ds}\right\}+\frac{d\varphi}{ds}$$ 沿坐标曲线$v=const,u=u(s)$，我们有$\frac{dv}{ds}=0$和$\frac{du}{ds}=\frac1{\sqrt E}$；因此 $$(k_g)_1=-\frac{E_v}{2E\sqrt G}$$ 类似地有 $$(k_g)_2=\frac{G_u}{2G\sqrt E}$$ 将这些关系式带入到上面$k_g$的公式中，我们得到 $$k_g=(k_g)_1\sqrt E\frac{du}{ds}+(k_g)_2\sqrt G\frac{dv}{ds}+\frac{d\varphi}{ds}$$ 因为 $$\sqrt E\frac{du}{ds}=\left<\alpha'(s),\frac{X_u}{\sqrt E}\right>=\cos\varphi,\sqrt G\frac{dv}{ds}=\sin\varphi$$ 我们得到想要的 $$k_g=(k_g)_1\cos\varphi+(k_g)_2\sin\varphi+\frac{d\varphi}{ds}$$ 证毕。

$$u''+\Gamma_{11}^1(u')^2+2\Gamma_{12}^1u'v'+\Gamma_{22}^1(v')^2=0$$ $$v''+\Gamma_{11}^2(u')^2+2\Gamma_{12}^2u'v'+\Gamma_{22}^2(v')^2=0$$ 被称为$S$的测地线微分方程。

命题5 给定一点$p\in S$和一向量$w\in T_p(S)$，$w\neq0$，存在$\varepsilon>0$和唯一的一条参数测地线$\gamma:(-\varepsilon,\varepsilon)\to S$使得$\gamma(0)=p,\gamma'(0)=w$。

用测地微分方程研究旋转曲面上的测地线可得：

$$r\cos\theta=const$$ 其中$r$是纬圆的半径，$\theta$是测地线和纬圆的交角，这被称为Clairaut关系。

习题

1.a.证明：如果曲线$C\subset S$既是曲率线又是测地线，则$C$是平面曲线。
b.证明：如果一条非直线的测地线是平面曲线，则它也是曲率线。
c.举一个曲率线的例子，使得它是平面曲线但不是测地线。
易

2.证明：一条曲线$C\in S$既是渐近线又是测地线的充要条件是$C$是直线段。
易

3.不用命题5证明直线式平面仅有的测地线。
易

4.设$v$和$w$是沿曲线$\alpha:I\to S$的向量场。证明：

$$\frac d{dt}<v(t),w(t)>=\left<\frac{Dv}{dt},w(t)\right>+\left<v(t),\frac{Dw}{dt}\right>$$ 易

5.考虑将圆周

$$(x-a)^2+z^2=r^2,y=0,a>r>0$$ 绕$z$轴旋转所得的旋转环面。由点$(a+r,0),(a-r,0),(a,r)$生成的纬圆分别称为最大纬圆，最小纬圆和上纬圆。检验这些纬圆中哪一个是
a.测地线。
b.渐近线。
c.曲率线。
易

6.计算习题5中环面的上纬圆的测地曲率。
提示：利用这个事实，即测地曲率的绝对值等于普通曲率在切平面上的投影的绝对值。

7.圆柱面$x^2+y^2=1$与过$x$轴且和$xy$平面成$\theta$角的平面相交。
a.证明：交线是椭圆$C$。
b.计算：椭圆$C$在其长短轴的顶点处关于柱面的测地曲率的绝对值。
易

8.证明：如果一连通曲面的所有测地线均为平面曲线，则此曲面包含在平面或球面内。
提示：利用习题1的部分b及3.2的命题5。

9.考虑球面的二条子午线$C_1$和$C_2$，它们在交点$p_1$处的夹角为$\varphi$。将$C_1$在交点$p_1$处的切向量$w_0$分别沿$C_1$和$C_2$平行移动到另一个交点$p_2$，记作$w_1$和$w_2$。计算从$w_1$到$w_2$的夹角。
提示：利用经线是测地线及平行移动保持角度的性质。

10.证明：一条定向曲线$C\subset S$在一点$p\in C$的测地曲率，等于把曲线$C$沿曲面在$p$点的法方向投影到切平面$T_p(S)$上所得的平面曲线的曲率。
提示：应用关系式$k_g^2+k_n^2=k^2$及Meusnier定理于投影柱面。

11.严格叙述并证明：协变导数的代数值在保持定向的等距对应下不变。
易

12.我们称曲面$S$上的一组正则曲线为$S$的可微曲线族，如果这组曲线的切线构成可微方向场。假定曲面$S$允许两组正交测地线构成的可微曲线族。证明：$S$的高斯曲率为零。
提示：将$p\in S$的一个邻域用参数表示，使得两族测地线称为坐标曲线（3.4推论1）。证明这意味着$F=0,E_v=0=G_u$。再作一参数变换使得$\bar F=0,\bar E=\bar G=1$。

13.设$V$是曲面$S$在点$p$的一个连通邻域。并设在$V$中任何二点间的平行移动不依赖于连结这二点的曲线。证明：$V$的高斯曲率为零。
提示：在$T_p(S)$中固定两个正交单位向量$v(p)$和$w(p)$，然后将它们平行移动到$V$的每一点。于是得到两个可微的正交单位向量场。将$V$用参数表示，使得这些向量的方向与坐标曲线相切，因此它们是测地线。应用习题12。

14.设$S$是定向正则曲面。令$\alpha:I\to S$是以弧长作参数的曲线。在点$p=\alpha(s)$，考虑三个单位向量（Darboux标架）$T(s)=\alpha'(s)$，$N(s)=$曲面$S$在$p$点的法向量，$V(s)=N(s)\land T(s)$。证明：

$$\begin{cases}\frac{dT}{ds}=0+aV+bN\\\frac{dV}{ds}=-aT+0+cN\\\frac{dN}{ds}=-bT-cV+0\end{cases}$$ 其中$a=a(s)$，$b=b(s)$，$c=c(s)$，$s\in I$。上述公式是Frenet公式关于标架$T,V,N$的类比。为了建立这些系数的集合意义，证明：
a.$c=-\left<\frac{dN}{ds},V\right>$；由此得出：$\alpha(I)\in S$为曲率线的充要条件是$c\equiv0$（$c$称为$\alpha$的测地挠率）。
b.$b$是$\alpha(I)\in S$在$p$点的法曲率。
c.$a$是$\alpha(I)\in S$在$p$点的测地曲率。
易

15.设$p_0$是单位球面$S^2$的极点。$q$和$r$是赤道上的两点，使得子午线$p_0q$和$p_0r$在$p_0$的夹角为$\theta$。考虑子午线$p_0q$在$p_0$点的单位切向量$v$，并沿着由子午线$p_0q$，沿圆$qr$和子午线$rp_0$构成的闭曲线作平行移动。
a.确定$v$的最终位置与$v$的夹角。
b.若点$q$和$r$取在余纬度为$\varphi$的纬圆上，再做一次a。
易

16.设$p$是定向曲面$S$的一点并假设存在$p$点的一个邻域，其中的点均为抛物点。证明：过$p$点的（唯一的）渐近曲线是一条直线的开线段。举例说明“具有抛物点邻域”的条件是不可少的。
提示：将$p\in S$的一个邻域用参数表示，使得曲率线是坐标曲线而$v=const$是渐进曲线。由此得出$e_v=0$，从Mainardi-Codazzi方程可断言$E_v=0$。这蕴涵$v=const$的测地曲率是零。观察环面的上半部的平行环可以得到所需的例子。

17.设$\alpha:I\to S$是以弧长作参数的曲线且曲率不为零。考虑参数曲面

$$X(s,v)=\alpha(s)+vb(s),s\in I,-\varepsilon<v<\varepsilon,\varepsilon>0$$ 其中$b$是$\alpha$的从法向量。证明：若$\varepsilon$充分小，则$X(I\times(-\varepsilon,\varepsilon))=S$是正则曲面，而$\alpha(I)$是$S$上的一条测地线（因此，每条曲线是由其从法线生成的曲面上的测地线）。
易

18.考虑旋转双曲面$x^2+y^2-z^2=1$上的一条测地线；这条测地线从点$p$（$p$在上半部分$z>0$）出发并与过$p$的纬圆成$\theta$角，使得$\cos\theta=\frac1r$，其中$r$为$p$到$z$轴的距离。证明：这条测地线沿纬度减小的方向逐渐地趋向于纬线$x^2+y^2=1,z=0$。
提示：利用Clairaut关系。

19.证明：当测地线的微分方程用弧长作参数时，除了$Fu'+Gv'$时，第二个方程是第一个方程的推论。
提示：在测地线微分方程中，将克里斯多福符号用它们作为$E$，$F$和$G$的函数的值代去，并微分第一基本形式的表达式：

$$1=E(u')^2_2Fu'v'+G(v')^2$$

20.设$T$为旋转环面。假定$T$的参数表示为

$$X(u,v)=((r\cos u+a)\cos v,(r\cos u+a)\sin v,r\sin u)$$ 证明：
a.若一条测地线与纬圆$u=\frac\pi2$相切，则它完全在区域$-\frac\pi2\leq u\leq\frac\pi2$内。
b.设一条测地线与纬圆$u=0$相交，其交角为$\theta$（$0<\theta<\frac\pi2$）。若 $$\cos\theta<\frac{a-r}{a+r}$$ 则它也与纬圆$u=\pi$相交。
提示：利用Clairaut关系。

21.刘维尔曲面为：存在一局部坐标系$X(u,v)$使其第一基本形式的系数适合

$$E=G=U+V,F=0$$ 其中$U=U(u)$仅使$u$的函数，$V=V(v)$仅是$v$的函数。注意刘维尔曲面是旋转面的推广并证明：
a.刘维尔曲面的测地线可以写成不定积分的形式 $$\int\frac{du}{\sqrt{U-C}}=\pm\int\frac{dv}{\sqrt{V+C}}+C_1$$ 其中$C$和$C_1$是由初始条件确定的常数。
b.设某一测地线与曲线$v=const$所成的夹角为$\theta,0\leq\theta\leq\frac\pi2$。则 $$U\sin^2\theta-V\cos^2\theta=const$$ （这是Clairaut关系式对刘维尔曲面的类比）。
易

22.设$S^2=\{(x,y,z)\in R^3;x^2+y^2+z^2=1\}$并设$p\in S^2$。对每一分段正则的参数曲线$\alpha:[0,l]\to S^2$，$\alpha(0)=\alpha(l)=p$，定义映照$p_\alpha:T_p(S^2)\to T_p(S^2)$如下：把每个向量$v\in T_p(S^2)$对应于$v$沿$\alpha$平移一周回到$p$点的向量。根据命题1，$p_\alpha$是等距对应。证明：对于$T_p(S^2)$的任一旋转$R$，均存在一条$\alpha$使得$R=p_\alpha$
易

23.证明：单位球面

$$S^2=\{(x,y,z)\in R^3;x^2+y^2=z^2=1\}$$ 的等距对应是$R^3$的线性正交变换在$S^2$上的限制。
易

4.5 高斯-Bonnet定理及其应用

定义 设$\alpha:[0,l]\to S$是从闭区间$[0,l]$到正则曲面$S$的连续映照。我们称$\alpha$是分段正则的简单闭参数曲线，如果
1.$\alpha(0)=\alpha(l)$；
2.若$t_1\neq t_2,t_1,t_2\in[0,l)$，则$\alpha(t_1)\neq\alpha(t_2)$；
3.存在$[0,l]$的一个分割

$$0=t_1<...<t_k<t_{k+1}=l$$ 使得$\alpha$在每一子区间$[t_i,t_{i+1}]，i=0,...,k$，上是正则可微的。

定理（切线回转定理）
设$X:U\subset R^2\to S$为$U$的参数表示并与$S$的定向相容。再假定$U$同胚于平面的开圆盘。
令$\alpha:[0,l]\to X(U)\subset S$是一条分段正则的简单闭参数曲线，其顶点为$\alpha(t_i)$，相应的外角为$\theta_i,i=0,...,k$。
令$\varphi_i:[t_i,t_{i+1}]\to R$为可微函数，表示$t\in[t_i,t_{i+1}]$处从$X_u$到$\alpha'(t)$的正向角度。
有

$$\overset{k}{\underset{i=0}\Sigma}(\varphi_i(t_{i+1}-\varphi_i(t_i))+\overset{k}{\underset{i=0}\Sigma}\theta_i=\pm2\pi$$ 其中正负号取决于$\alpha$的定向。

高斯-Bonnet定理（局部） 设$X:U\to S$是定向曲面$S$的一个正交参数表示（即，$F=0$），其中$U\subset R^2$同胚于开圆盘，而$X$与$S$的定向相容。设$R\subset X(U)$是$S$的一个简单区域并设$\alpha:I\to S$使得$\partial R=\alpha(I)$。假定$\alpha$是正定向的并一弧长$s$作为参数，而且设$\alpha(s_0),...,\alpha(s_k)$和$\theta_0,...,\theta_k$，分别为$\alpha$的顶点及外角。则

$$\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\int_{s_i}^{s_{i+1}}k_g(s)ds+\iint_R Kd\sigma+\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\theta_i=2\pi$$
证明 设$u=u(s),v=v(s)$是曲线$\alpha$关于参数表示$X$的表达式。利用4.4的命题3，我们有 $$k_g(s)=\frac1{2\sqrt{EG}}\left\{G_u\frac{dv}{ds}-E_v\frac{du}{ds}\right\}+\frac{d\varphi_i}{ds}$$ 其中$\varphi_i=\varphi_i(s)$是一可微函数，它表示在$[s_i,s_{i+1}]$中$X_u$到$\alpha'(s)$的正向交角。在每段区间$[s_i,s_{i+1}]$上积分上述表达式并将结果相加。 $$\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\int_{s_i}^{s_{i+1}}k_g(s)ds=\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\int_{s_i}^{s_{i+1}}\left(\frac{G_u}{2\sqrt{EG}}\frac{dv}{ds}-\frac{E_v}{2\sqrt{EG}}\frac{du}{ds}\right)ds+\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\int_{s_i}^{s_{i+1}}\frac{d\varphi_i}{ds}ds$$ 现在利用平面$uv$上的高斯格林定理：若$P(u,v)$和$Q(u,v)$是定义在简单区域$A\subset R^2$上的可微函数，$A$的边界为$u=u(s),v=v(s)$。则 $$\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\int_{s_i}^{s_{i+1}}\left(P\frac{du}{ds}+Q\frac{dv}{ds}\right)ds=\iint_A\left(\frac{\partial Q}{\partial u}-\frac{\partial P}{\partial v}\right)dudv$$ 由此可得， $$\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\int_{s_i}^{s_{i+1}}k_g(s)ds=\iint_{X^{-1}(R)}\left\{\left(\frac{E_v}{2\sqrt{EG}}\right)_v+\left(\frac{G_u}{2\sqrt{EG}}\right)_u\right\}dudv+\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\int_{s_i}^{s_{i+1}}\frac{d\varphi_i}{ds}ds$$ 从$F=0$时的高斯公式，我们知道 $$\iint_{X^{-1}(R)}\left\{\left(\frac{E_v}{2\sqrt{EG}}\right)_v+\left(\frac{G_u}{2\sqrt{EG}}\right)_u\right\}dudv$$ $$=-\iint_{X^{-1}(R)}K\sqrt{EG}dudv=-\iint_R Kd\sigma$$ 另一方面，由回转切线定理 $$\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\int_{s_i}^{s_{i+1}}\frac{d\varphi_i}{ds}ds=\overset k{\underset{i=0}\Sigma}(\varphi_i(s_{i+1})-\varphi(s_i))=\pm2\pi-\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\theta_i$$ 因为曲线$\alpha$是正定向的，所以符号应为正号；正如对于平面中的圆周这个特例一样，这事显而易见的。
把这些事实合在一起，我们得到 $$\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\int_{s_i}^{s_{i+1}}k_g(s)ds+\iint_R Kd\sigma+\overset k{\underset{i=0}\Sigma}\theta_i=2\pi$$ 证毕。

命题1 正则曲面的任何正则区域均有一个三角剖分。

命题2 设$S$为定向曲面。$\{X_\alpha\},\alpha\in A$，为一族与$S$的定向相容的参数表示。设$R\subset S$是$S$的一个正则区域。则存在$R$的一个三角剖分$\scr T$使得每个三角形$T\in\scr T$，均包含在$\{X_\alpha\}$的某一坐标区域内。而且，如果$\scr T$的每个三角形的边界是正定向的，则相邻的三角形在公共边上的方向相反。

命题3 设$R\subset S$是曲面$S$的正则区域，则欧拉-Poincare示性数与$R$的三角剖分无关。因此，可以记作$\chi(R)$。

命题4 设$S\subset R^3$是紧致连通的曲面；则$S$的欧拉-Poincares取下列值之一：$2,0,-2,...,-2n,...$。再者，若$S'\subset R^3$为另一紧致曲面且$\chi(S)=\chi(S')$，则$S$同胚于$S'$。

命题5 记号如上。和式

$$\overset k{\underset{i=1}\Sigma}\iint_{X_i^{-1}(T_i)}f(u_i,v_i)\sqrt{E_iG_i-F_i^2}du_idv_i$$ 不依赖于三角剖分$\scr T$，也不依赖于$S$的参数表示$\{X_i\}$。

整体高斯-bonnet定理 设$R\subset S$是一定向曲面的正则区域。令$C_1,...,C_n$是分段正则的简单闭曲线并组成$R$的边界$\partial R$。设每个$C_i$是正定向的并设$\theta_1,...,\theta_p$是曲线$C_1,...,C_n$的全部外角。则

$$\overset n{\underset{i=0}\Sigma}\int_{C_i}k_g(s)ds+\iint_RKd\sigma+\overset p{\underset{l=0}\Sigma}\theta_l=2\pi\chi(R)$$ 其中$s$为$C_i$的弧长，在$C_i$上的积分表示在$C_i$的每段正则弧上的积分之和。
证明 考虑$R$的三角剖分$\scr T$，使得每个三角形均包含在与$S$的定向相容的正交参数表示族的某个坐标邻域内。由命题2，这种三角剖分是存在的。更进一步，如果$\scr T$的每个三角形的边界是正定向的，则在相邻三角形的公共边上，我们得到相反的定向。
将局部的高斯-Bonnet定理应用到每一个三角形并将结果加到一起，再利用命题5并注意每条“内”边以相反的方向跑两次，则有， $$\underset i\Sigma\int_{C_i}k_g(s)ds+\iint_RKd\sigma+\overset{F,3}{\underset{j,k=1}\Sigma}\theta_{jk}=2\pi F$$ 其中$F$为$\scr T$中的三角形的个数，而$\theta_{j1},\theta{j2},\theta{j3}$是三角形$T_j$的外角。
现在引进三角形$T_j$的内角$\varphi_{jk}=\pi-\theta_{jk}$。因此 $$\underset{j,k}\Sigma\theta_{jk}=\underset{j,k}\Sigma\pi-\underset{j,k}\Sigma\varphi_{jk}=3\pi F-\underset{j,k}\Sigma\varphi_{jk}$$ 我们将要采用下述记号： $$E_e=\scr T的外边的个数，$$ $$E_i=\scr T的内边的个数，$$ $$V_e=\scr T的外顶点的个数，$$ $$V_i=\scr T的外顶点的个数。$$ 因为曲线$C_i$是闭曲线，所以$E_e=V_e$。再者，容易用归纳法证明 $$3F=2E_i+E_e$$ 因而 $$\sum_{j,k}\theta_{jk}=2\pi E_i+\pi E_r-\sum_{j,k}\varphi_{jk}$$ 现在注意，外顶点可能是某条曲线$C_i$的顶点，也可能是由三角剖分引进的顶点。置$V_e=V_{eC}+V_{eT}$，这里$V_{eC}$是曲线$C_i$的顶点数而$V_{eT}$是三角剖分的外顶点且不是$C_i$的顶点的个数。因为在每个内顶点的所有角的总和是$2\pi$，我们得到 $$\sum_{j,k}\theta_{jk}=2\pi E_i+\pi E_e-2\pi V_i-\pi V_{eT}-\sum_l(\pi-\theta_l)$$ 在上述表达式中，加进并减掉$\pi E_e$，并考虑到$E_e=V_e$，则有 $$\sum_{j,k}\theta_{jk}=2\pi E_i+2\pi E_e-2\pi V_i-\pi V_e-\pi V_{eT}-\pi V_{eC}+\sum_l\theta_l$$ $$=2\pi E-2\pi V+\sum_l\theta_l$$ 把上面的各个式子放到一起，最后得到 $$\sum_{i=1}^n\int_{C_i}k_g(s)ds+\iint_RKd\sigma+\sum_{l=1}^p\theta_l=2\pi(F-E+V)$$ $$=2\pi\chi(R)$$ 证毕。

推论1 设$R$是$S$的简单区域，则

$$\sum_{i=1}^k\int_{s_i}^{s_{i+1}}k_g(s)ds+\iint_RKd\sigma+\sum_{i=0}^k\theta_i=2\pi$$

推论2 设$S$是可定向紧致曲面；则

$$\iint_SKd\sigma=2\pi\chi(S)$$

对于曲面上的向量场$v$，$v=0$的点称为奇点。若一奇点有一邻域无其余奇点，此奇点称为孤立奇点。
对于一只围住单个孤立奇点的正则简单闭参数曲线，将

$$2\pi I=\int_0^l\frac{d\varphi}{dt}dt$$ 中的$I$叫做此奇点的指标，借助上定理可知，$I$与曲线的选择无关。

Poincare定理 在一紧致曲面$S$上仅有孤立奇点的可微向量场的指标之和，等于$S$的欧拉-Poincare示性数。

习题

1.设$S\subset R^3$为紧致可定向的正则曲面且不同胚于球面：证明：在$S$上存在点使得高斯曲率分别为正、负和零。
易

2.设$T$是一旋转环面。描述$T$的高斯映照得像集并且不用高斯-Bonnet定理来证明

$$\iint_TKd\sigma=0$$ 计算$T$得欧拉-Poincare示性数。用高斯-Bonnet定理验证上述结果。
易

3.设$S\subset R^3$为与球面同胚的，高斯曲率大于零的正则曲面。设$\Gamma\subset S$是一条简单闭测地线，并设$A$和$B$是$S$的两个以$\Gamma$为公共边界的区域。令$N:S\to S^2$为$S$的高斯映照。证明：$N(A)$和$N(B)$的面积相等。
易

4.计算下列曲面的欧拉-Poincare示性数：
a.椭球面
b.曲面$S=\{(x,y,z)\in R^3;x^2+y^4+z^6=1\}$
提示：b.注意到映照$x=\bar x,y=\bar y^2,z=\bar z^2$给出了一个从球面$x^2+y^2+z^2=1$到曲面$\bar x^2+\bar y^4+\bar z^6=1$上的同胚。

5.设$C$是定向单位球面$S^2$上余维度为$\varphi$的纬圆。并设$w_0$是$C$在点$p$的单位切向量。将$w_0$沿$C$作平行移动。证明：在平移了一圈后，新向量与初始向量$w_0$的夹角$\delta\varphi=2\pi(1-\cos\varphi)$。验证：

$$\lim_{R\to p}\frac{\delta\varphi}{A}=1=K$$ 其中$A$是$S^2$上由$C$界定的区域$R$的面积。
易

6.对下列平面向量场，证明$(0,0)$是孤立奇点并计算其指标：
a.$v=(x,y)$；
b.$v=(-x,y)$；
c.$v=(x,-y)$；
d.$v=(x^2-y^2,-2xy)$；
e.$v=(x^3-3xy^2,y^3-3x^2y)$。
提示：a.限制$v$于曲线$\alpha(t)=(\cos t,\sin t),t\in[0,2\pi]$。$v(t)$与$x$轴的夹角是$t$。于是，$2\pi I=2\pi$；因此，$I=1$。
b.将$v$限制于曲线$\alpha(t)=(\cos t,\sin t),t\in[0,2\pi]$，我们得到$v(t)=(\cos^2t-\sin^2t,-2\cos t\sin t)=(\cos2t,-\sin2t)$。于是，$I=-2$。

7.奇点的指标能否为零？如果可能，则举一例说明之。
易

8.证明：一定向紧致曲面$S\subset R^3$能有一个无奇点的可微向量场的充要条件是$S$与环面同胚。
易

9.设$C$是球面$S^2$上正则闭曲线。设$v$是$S^2$上的一个可微向量场，使其轨线均不与$C$相切。证明：由$C$界定的二个区域的任何一个都至少包含$v$的一个奇点。
易

4.6 指数映照；测地极坐标

引理1 若测地线$\gamma(t,v)$定义在$t\in(-\varepsilon,\varepsilon)$上，则测地线$\gamma(t,\lambda v),\lambda\in R,\lambda\neq0$，定义在$t\in(-\frac\varepsilon\lambda,\frac\varepsilon\lambda)$上并且$\gamma(t,\lambda v)=\gamma(\lambda t,v)$。
证明 设参数曲线$\alpha:(-\frac\varepsilon\lambda,\frac\varepsilon\lambda)\to S$的定义为$\alpha(t)=\gamma(\lambda t)$。则$\alpha(0)=\gamma(0),\alpha'(0)=\lambda\gamma'(0)$，并且由$D$的线性性

$$D_{\alpha'(t)}\alpha'(t)=\lambda^2D_{\gamma'(t)}\gamma'(t)=0$$ 由此可知$\alpha$是一条测地线，其初始条件为$\gamma(0)$和$\lambda\gamma'(0)$，并由唯一性得 $$\alpha(t)=\gamma(t,\lambda v)=\gamma(\lambda t,v)$$ 证毕。

定义 如果$\gamma(1,v)$有定义，我们置

$$\exp_p(v)=\gamma(1,v),\exp_p(0)=p$$

命题1 给定$p\in S$，存在$\varepsilon>0$，使得$\exp_p$在$T_p(S)$的以原点为中心，半径为$\varepsilon$的圆盘内部$B_\varepsilon$上有定义且可微。
证明 根据引理1，对于$T_p(S)$的每个方向，显然可以把$v$选得充分小使得$\gamma(t,v)$的定义区间包含$1$，因而$\gamma(1,v)=\exp_p(v)$有定义。为了证明对所有方向存在一个一致的$\varepsilon$，我们需要测地线对于初始条件的依赖性定理，其形式如下：给定$p\in S$，存在数$\varepsilon_1>0,\varepsilon_2>0$及可微映照

$$\gamma:(-\varepsilon_2,\varepsilon_2)\times B_{\varepsilon_1}\to S$$ 使得对任意$v\in B_{\varepsilon_1},v\neq0,t\in(-\varepsilon_2,\varepsilon_2)$，曲线$\gamma(t,v)$是$S$的测地线，且$\gamma(0,0)=p,\gamma'(0,v)=v$，并对$v=0$有$\gamma(t,0)=p$。
从这个定理和引理1可以得到我们的结论。事实上，因为$\gamma(t,v)$对于$|t|<\varepsilon_2,|v|<\varepsilon_1$有定义，在引理1中置$\lambda=\frac{\varepsilon_2}2$，我们得到$\gamma(t,\frac{\varepsilon_2}2v)$对于$|t|<2,|v|<\varepsilon_1$有定义。因此，取一个以原点为中心，半径为$\varepsilon<\frac{\varepsilon_1\varepsilon_2}2$的圆盘$B_\varepsilon\subset T_p(S)$，则对所有$w\in B_\varepsilon,\gamma(1,w)=\exp_pw$有定义。$\exp_p$在$B_\varepsilon$中的可微性可以从$\gamma$的可微性推出。证毕。

命题2 $\exp_p:B_\varepsilon\subset T_p(S)\to S$在$T_p(S)$的原点$O$的一个邻域$U\subset B_\varepsilon$中为微分同胚。
证明 我们将证明微分$d(\exp_p)$在$0\in T_p(S)$是非奇异的。为此，我们把$T_p(S)$在$0$的切空间与$T_p(S)$本身等同起来，考虑曲线$\alpha(t)=tv,v\in T_p(S)$。显然$\alpha(0)=0,\alpha'(0)=v$。曲线$(\exp_p\circ\alpha)(t)=\exp_p(tv)$在$t=0$的切向量为

$$\frac d{dt}(\exp_p(tv))|_{t=0}=\frac d{dt}(\gamma(t,v))|_{t=0}=v$$ 由此可知 $$(d\exp_p)_0(v)=v$$ 这就证明了$d\exp_p$在$0$非奇异。应用反函数定理，就可完成命题的证明。证毕。

命题3 设$X:U-l\to V-L$是测地极坐标系$(\rho,\theta)$。则第一基本形式的系数$E=E(\rho,\theta),F=F(\rho,\theta),G=G(\rho,\theta)$满足条件

$$E=1,F=0,\lim_{\rho\to 0}G=0,\lim_{\rho\to 0}(\sqrt{G})_\rho=1$$ 证明 根据指数映射的定义，$\rho$为曲线$\theta=const$的弧长。由此直接可得$E=1$。
在测地线微分方程中，利用$\theta=const$为测地线，可以推出$\Gamma_{11}^2=0$。再利用克里斯多福符号的关系，我们得到 $$0=F_\rho$$ 因此，$F(\rho,\theta)$不依赖于$\rho$。
对每点$q\in V$，过$q$点的测地圆记作$\alpha(\sigma)$，这里$\sigma\in[0,2\pi]$（如果$q=p$则$\alpha(\sigma)$为一点$\alpha(\sigma)=p$）。再用$\gamma(s)$记过$q$点的径向测地线，这里$s$是$\gamma$的弧长。有了这些记号，我们可以写 $$F(\rho,\theta)=\left<\frac{d\alpha}{d\sigma},\frac{d\gamma}{ds}\right>$$ 系数$F(\rho,\theta)$在$p$点没有定义。然而，如果固定一条径向测地线$\theta=const$，则上述等式的第二项对这条测地线上的每点均有定义。因为在$p$点有$\alpha(\sigma)=p$，即$\frac{d\alpha}{d\sigma}=0$，我们得到 $$\lim_{\rho\to0}F(\rho,\theta)=\lim_{\rho\to0}\left<\frac{d\alpha}{d\sigma},\frac{d\gamma}{ds}\right>=0$$ 但$F$不依赖于$\rho$，这就表明$F=0$。
为了证明命题的最后一个结论，我们选取$p$点的一个法坐标系$(\bar u,\bar v)$使得坐标变换为 $$\bar u=\rho\cos\theta,\bar v=\rho\sin\theta,\rho\neq0,0<\theta<2\pi$$ 回忆一下 $$\sqrt{EG-F^2}=\sqrt{\bar E\bar G-\bar F^2}\frac{\partial(\bar u,\bar v)}{\partial(\rho,\theta)}$$ 其中$\frac{\partial(\bar u,\bar v)}{\partial(\rho,\theta)}$是坐标变换的雅可比行列式而$\bar E,\bar F,\bar G$为第一基本形式在法坐标系中的系数，我们得到 $$\sqrt{G}=\rho\sqrt{\bar E\bar G-\bar F^2},\rho\neq0$$ 由于在$p$点$\bar E=\bar G=1,\bar F=0$（法坐标系是在$p$定义的），我们得到 $$\lim_{\rho\to0}\sqrt G=0,\lim_{\rho\to0}(\sqrt G)_\rho=1$$ 命题得证。证毕。

定理（Minding） 任何二个具有相同常数高斯曲率的正则曲面均局部等距。更严格地讲，设$S_1$和$S_2$为二个正则曲面且具有相同的常数高斯曲率$K$。选取点$p_1\in S_1$和$p_2\in S_2$，及标准正交基$\{e_1,e_2\}\subset T_{p_1}(S_1),\{f_1,f_2\}\subset T_{p_2}(S_2)$。则存在$p_1$的邻域$V_1$和$p_2$的邻域$V_2$以及等距对应$\psi:V_1\to V_2$使得$d\psi(e_1)=f_1,d\psi(e_2)=f_2$。
证明 让我们首先考虑方程

$$(\sqrt G)_{\rho\rho}+K\sqrt G=0$$ 并分别研究（1）$K=0$，（2）$K>0$和（3）$K<0$。
1.若$K=0$，则$(\sqrt G)_{\rho\rho}=0$。因此，$(\sqrt G)_\rho=g(\theta)$，其中$g(\theta)$是$\theta$的函数。因为 $$\lim_{\rho\to0}(\sqrt G)_\rho=1$$ 所以有$(\sqrt G)_\rho\equiv1$。因此，$\sqrt G=\rho+f(\theta)$，$f(\theta)$是$\theta$的函数。又因为 $$f(\theta)=\lim_{\rho\to0}\sqrt G=0$$ 在这一情形，最后我们有 $$E=1,F=0,G(\rho,\theta)=\rho^2$$ 2.若$K>0$，则方程的一般解为 $$\sqrt G=A(\theta)\cos(\sqrt K\rho)+B(\theta)\sin(\sqrt K\rho)$$ 其中$A(\theta)$和$B(\theta)$是$\theta$的函数。要验证上式是方程的解，只要取微分就行了。
因为$\lim_{\rho\to0}\sqrt G=0$，我们得到$A(\theta)=0$。因此， $$(\sqrt G)_\rho=B(\theta)\sqrt K\cos(\sqrt K\rho)$$ 再由$\lim_{\rho\to 0}(\sqrt G)_\rho=1$，我们有 $$B(\theta)=\frac1{\sqrt K}$$ 所以在这种情形 $$E=1,F=0,G=\frac1K\sin^2(\sqrt K\rho)$$ 3.最后，若$K<0$，方程的一般解为 $$\sqrt G=A(\theta)\cosh(\sqrt{-K}\rho)+B(\theta)\sinh(\sqrt{-K}\rho)$$ 利用初始条件，可以推出在这一情形有 $$E=1,F=0,G=\frac1{-K}\sinh^2(\sqrt{-K}\rho)$$ 现在我们着手证明Minding定理。设$V_1$和$V_2$分别是$p_1$和$p_2$的法邻域。设$\varphi$是$T_{p_1}(S_1)$到$T_{p_2}(S_2)$上的线性等距对应并且$\varphi(e_1)=f_1,\varphi(e_2)=f_2$。选取$T_{p_1}(S_1)$的极坐标系，其极轴为$l$并设$L_1=\exp_{p_1}(l),L_2=\exp_{p_2}(\varphi(l))$。令$\psi:V_1\to V_2$的定义为 $$\psi=\exp_{p_2}\circ\varphi\circ\exp_{p_1}^{-1}$$ 我们断言$\psi$是所要求的等距对应。
事实上，$\psi$在$V_1-L_1$上的限制$\bar psi$将极点为$p_1$坐标为$(\rho,\theta)$的极坐标邻域映成极点为$p_2$坐标为$(\rho,\theta)$的坐标邻域。根据上面对方程的研究，第一基本形式的系数在对应点相等。由4.2命题1，$\bar\psi$是一等距对应。根据连续性，$\psi$在$L_1$的点处任然保持内积，因此，$\psi$是等距对应。可直接验证$d\psi(e_1)=f_1,d\psi(e_2)=f_2$。定理得证。证毕。

命题4 设$p$是曲面$S$上的一点。则存在$p$点的一个邻域$W\subset S$，使得如果$\gamma:I\to W$为参数测地线,且$\gamma(0)=p,\gamma(t_1)=q,t_1\in I$，以及$\alpha:[0,t_1]\in S$是连结$p$和$q$的正则参数曲线，则有

$$l_\gamma\leq l_\alpha$$ 其中$l_\alpha$为曲线$\alpha$的长度。再者，如果$l_\gamma=l_\alpha$，则$\alpha$的轨迹与$\gamma$的轨迹在$p$和$q$间相重合。
证明 设$V$是$p$的法邻域，$W$是包含在$V$内由半径为$r$的测地圆界定的闭区域。设$(\rho,\theta)$是以$p$为中心的$\bar W$的测地极坐标，而$q\in \bar W$。
首先假定$\alpha((0,t_1))\subset\bar W$，并置$\alpha(t)=(\rho(t),\theta(t))$。先注意 $$\sqrt{(\rho')^2+G(\theta')^2}\geq\sqrt{(\rho')^2}$$ 而等号成立的充要条件为$\theta'\equiv0$；也就是说，$\theta=const$。因此曲线$\alpha$在$\varepsilon$和$t_1-\varepsilon$之间的长度$l_\alpha(\varepsilon)$满足 $$l_\alpha(\varepsilon)=\int_\varepsilon^{t_1-\varepsilon}\sqrt{(\rho')^2+G(\theta')^2}dt$$ $$\geq\int_\varepsilon^{t_1-\varepsilon}\sqrt{(\rho')^2}dt\geq\int_\varepsilon^{t_1-\varepsilon}\rho'dt=l_\gamma-2\varepsilon$$ 而且等号成立的充要条件是$\theta=const$和$\rho'>0$。在上式中令$\varepsilon\to0$，我们得到$l_\alpha>l_\gamma$并且等号成立的充要条件是$\alpha$是径向测地线$\theta=const$，其参数表示为$\rho=\rho(t),\rho'(t)>0$。由此可知，如果$l_\alpha=l_\gamma$，则$\alpha$和$\gamma$的轨迹在$p$和$q$间重合。
然后假定$\alpha([0,t_1])$不完全包含在$\bar W$中。$l_\alpha>l_\gamma$的证明是显然的。
证毕。

命题5 设$\alpha:I\to S$是正则曲线，其参数与弧长成比例。假定$\alpha$在任意二点$t,\tau\in I$间的弧长小于或等于连接$\alpha(t)$和$\alpha(\tau$的任何正则参数曲线的弧长，则$\alpha$是一条测地线。
证明 设$t_0\in I$是$I$的任何点并设$W$是$\alpha(t_0)=p$的邻域。设$q=\alpha(t_1)\in W$。从命题4中等号成立的情形可知$\alpha$在$(t_0,t_1)$上是测地线。不然的话，$\alpha$在$(t_0,t_1)$间的弧长要大于连结$\alpha(t_0)$和$\alpha(t_1)$的径向测地线的长度，这与假设违背。因为$\alpha$是正则的，所以根据连续性，$\alpha$在$t_0$仍然是测地线。证毕。

习题
1.证明：在常数曲率的曲面上，测地圆的测地曲率为常数。
易

2.证明：在测地极坐标$(E=1,F=0)$之间下的测地线方程为

$$\rho''-\frac12G_\rho(\theta')^2=0$$ $$\theta''+\frac{G_\rho}G\rho'\theta'+\frac12\frac{G_\theta}G(\theta')^2=0$$ 易

3.设$p$为正则曲面$S$上的一点。证明：

$$K(p)=\lim_{r\to0}\frac{12}\pi\frac{\pi r^2-A}{r^4}$$ 其中$K(p)$是$S$在$p$点的高斯曲率，$r$是以$p$为中心的测地圆$S_r(p)$的半径，$A$是由$S_r(p)$界定的区域的圆面积。
易

4.证明：在以$p$为中心的法坐标系下，所有克里斯多福符号在$p$点为零。