贝蒂瑞利定理

定理 如果$\alpha,\beta$都是正无理数，且$\frac1\alpha+\frac1\beta=1$，则$A:=\{\lfloor m\alpha\rfloor:m\in\mathbb N^+\}$和$B:=\{\lfloor m\beta\rfloor:m\in\mathbb N^+\}$互斥且覆盖$\mathbb N^+$。

证明 设$c$是正整数，$x_0=\lceil\frac c\alpha\rceil=\frac c\alpha+\xi,y_0=\lceil\frac c\beta\rceil=\frac c\beta+\eta$。显然，若整数$x\neq x_0$则$\lfloor\alpha x\rfloor\neq c$，若整数$y\neq y_0$则$\lfloor\beta y\rfloor\neq c$，且$0<\xi<1,0<\eta<1,\alpha\xi,\beta\eta$都是无理数。由于$x_0+y_0=c+\eta+\xi$，故$\xi+\eta=1$于是$\frac{\alpha\xi}\alpha+\frac{\beta\eta}\beta=1$，所以$\alpha\xi$和$\beta\eta$中有且仅有一个小于$1$，于是$\lfloor\alpha x_0\rfloor$和$\lfloor\beta y_0\rfloor$中有且只有一个为$c$。