关于《力学》中的符号说明

采用广义坐标描述系统，$t$为时间，$\pmb q$为坐标，$\dot{\pmb q}$为$\pmb q$关于时间的导数，给定拉格朗日函数

$$L(t,\pmb q,\dot{\pmb q})$$ 一般情况下是要在满足约束
$$\pmb q(t_1)=\pmb A,\pmb q(t_2)=\pmb B$$ 的情况下最小化
$$\int_{t_1}^{t_2}L(t,\pmb q,\dot{\pmb q})dt$$ 而第38节会增加一些新的约束，所有增加的约束都形如
$$\sum_{i}c_{\alpha i}(\pmb q)\dot q_i=0$$ 其中$\alpha$是约束的下标，$i$是坐标的下标，$c_{\alpha i}$均仅和$\pmb q$有关。
由于这个约束中出现了$\dot q_i$于是无法直接使用拉格朗日乘子法，接着作者就非常让我无法理解地对这个表达式乘了个$\delta t$，给改成了
$$\sum_i c_{\alpha i}(\pmb q)\delta q_i=0$$ 并宣称变分过程中，$\delta\pmb q$必须满足上述约束，接着就开始用拉格朗日乘数法了。问题是$\delta\pmb q=\dot{\pmb q}\delta t$里的$\delta\pmb q$和变分法里的$\delta\pmb q$真的是一个东西吗？