2.1 方阵的相似对角化

高等工程数学 讲义 2025AU

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方阵的相似关系

设 $\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}$ 是 $n$ 阶方阵，若存在可逆方阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{AP}$ ，则称 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似 (Similar)，记为 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$

• 矩阵相似是一种等价关系 (Equivalence Relation)，即满足：
  
  • 自反性： $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{A}$
  • 对称性： $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$ ，则 $\boldsymbol{B}\sim \boldsymbol{A}$
  • 传递性：若 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$ , $\boldsymbol{B}\sim \boldsymbol{C}$ ，则 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{C}$

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相似矩阵的性质

若 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$ ，则

• $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 有相同的特征多项式与特征值
  
  • 未必有相同的特征向量
• $\boldsymbol{A} , \boldsymbol{B}$ 有相同的秩与行列式
• $\boldsymbol{A} , \boldsymbol{B}$ 有相同的迹，$\mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{B})$
  
  • 提示：利用迹的性质：$\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})$
• 若 $f(x)$ 是多项式，则 $f(\boldsymbol{A})\sim f(\boldsymbol{B})$

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可相似对角化的矩阵

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，若存在可逆方阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得

$$\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda_{1}} & {} & {} & {} \\ {} & {\lambda_{2}} & {} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {} & {\lambda_{n}}\end{array}\right]$$

则称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化， $\boldsymbol{P}$ 称为 相似变换矩阵 (Similar Transformation Matrix)

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方阵可相似对角化的充要条件

定理 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化，当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量.

• 推论 若 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 有 $n$ 个不同的特征值，则 $\boldsymbol{A}$ 可对角化.

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特征子空间

设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值，记

$$V_{\lambda_{0}}=\left\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{C}^{n} | \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\lambda_{0} \boldsymbol{x}\right\}$$

• 称 $V_{\lambda_0}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 关于 $\lambda_0$ 的 特征子空间.

• 称 $k_{0} \triangleq \operatorname{dim} V_{\lambda_{0}}$ 为特征值 $\lambda_0$ 的 几何重数

  • $\operatorname{dim} V_{\lambda_{0}}=n-\operatorname{rank}\left(\boldsymbol{A}-\lambda_{0} \boldsymbol{I}_{n}\right)$

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特征值的代数重数

设 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征多项式为

$$f_{\boldsymbol{A}}(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{n_{1}}\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{n_{2}} \cdots\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{n_{s}}$$

其中 $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_s$ 各不相同，称 $n_i$ 为 $\lambda_i$ 的 代数重数 (Algebraic Multiplicity)

• 定理 对任意的 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}\in\mathbb{C}^{n\times n}$ ，其特征值的几何重数不大于其代数重数.

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证明思路

• 仅证明 $k_1\leq n_1$ ，其余类似.
• 取 $\lambda_1$ 的 $k_1$ 个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{p}_1,\boldsymbol{p}_2,\ldots,\boldsymbol{p}_{k_1}$ ，然后扩张成 $\mathbb{C}^n$ 的基 $\{\boldsymbol{p}_1,\ldots,\boldsymbol{p}_{k_1},\boldsymbol{p}_{k_1+1},\ldots,\boldsymbol{p}_n\}$
• 记 $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{p}_1\;\ldots\;\boldsymbol{p}_{k_1}\;\boldsymbol{p}_{k_1+1}\;\ldots\;\boldsymbol{p}_n]$
• 则 $\boldsymbol{AP}=\boldsymbol{P}\left[\begin{array}{cc}\lambda_1\boldsymbol{I}_{k_1} & \boldsymbol{C}_1\\ \boldsymbol{0}& \boldsymbol{C}_2\end{array}\right]\triangleq \boldsymbol{PB}$
• $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$ ，故特征多项式相同
  
  • $f_A(\lambda)=f_B(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{B}|=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{C}_2|$
• 由此可知 $\lambda_1$ 是 $f_A(\lambda)$ 的 $k_1$ 重根，所以 $k_1\leq n_1$ .

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方阵可相似对角化的充要条件

定理 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可对角化，当且仅当 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值的几何重数都等于其代数重数.

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相似对角化的求解过程

1. 求 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征值： $\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_s$ 及代数重数： $n_1,n_2,\ldots,n_s$ ;
2. 对每个特征值 $\lambda_i$ ，求对应的特征向量，并得到其几何重数 $k_i$ ;
3. 若有某个 $k_i<n_i$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 不能相似对角化;
4. 若所有的有 $k_i=n_i,\; i=1,2,...,s$ ，则以所有特征向量作为列向量，构成相似变换矩阵 $\boldsymbol{P}$ ;
5. $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP}$ 是对角阵，对角元素为 $\boldsymbol{A}$ 的特征值按照 $\boldsymbol{P}$ 的列向量对应的次序排列.

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例 已知

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}{4} & {6} & {0} \\ {-3} & {-5} & {0} \\ {-3} & {-6} & {1}\end{array}\right]$$

问： $\boldsymbol{A}$ 是否可对角化？若 $\boldsymbol{A}$ 可对角化，试求出相似变换矩阵 $\boldsymbol{P}$ .

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提示

• $f_{A}(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}{\lambda-4} & {-6} & {0} \\ {3} & {\lambda+5} & {0} \\ {3} & {6} & {\lambda-1}\end{array}\right|=(\lambda+2)(\lambda-1)^{2}$
• $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{ccc}{6} & {6} & {0} \\ {-3} & {-3} & {0} \\ {-3} & {-6} & {3}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {-1} & {1}\end{array}\right]$
  
  • 特征向量： $\boldsymbol{x}_1=[-1\;1\;1]^{\mathrm{T}}$
• $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{ccc}{3} & {6} & {0} \\ {-3} & {-6} & {0} \\ {-3} & {-6} & {0}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}{1} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$
  
  • 特征向量： $\boldsymbol{x}_2=[-2\;1\;0]^{\mathrm{T}}$ ， $\boldsymbol{x}_3=[0\;0\;1]^{\mathrm{T}}$
• $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化， $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{rrr}{-1} & {-2} & {0} \\ {1} & {1} & {0} \\ {1} & {0} & {1}\end{array}\right]$

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例 已知

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}{0} & {0} & {1} \\ {x} & {1} & {y} \\ {1} & {0} & {0}\end{array}\right]$$

可对角化，则 $x,y$ 应满足什么条件？

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提示：

• $f_{A}(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}{\lambda} & {0} & {-1} \\ {-x} & {\lambda-1} & {-y} \\ {-1} & {0} & {\lambda}\end{array}\right|=(\lambda+1)(\lambda-1)^{2}$
• $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{ccc}{-1} & {0} & {1} \\ {x} & {0} & {y} \\ {1} & {0} & {-1}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}{-1} & {0} & {1} \\ {0} & {0} & {y+x} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$
  
  • 若 $\boldsymbol{A}$ 可对角化，则 $n-\mathrm{rank}(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{I})=2$ ，从而 $x=-y$

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相似对角化的应用：1. 方阵幂的计算

• 思路：
  
  • 若 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化
    
    • 即：存在可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$，使得 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP}=\boldsymbol{B}$
    • 则对任意 $m\in\mathbb{N}$，总有 $\boldsymbol{A}^m=\boldsymbol{PB}^m\boldsymbol{P}^{-1}$
  • 特别地，若 $\boldsymbol{B}=\mathrm{diag}\{\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\}$
    
    • 则 $\bbox[yellow]{\boldsymbol{A}^m=\boldsymbol{P}\mathrm{diag}\{\lambda_1^m,\lambda_2^m,\ldots,\lambda_n^m\}\boldsymbol{P}^{-1}}$

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例 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}{4} & {-5} \\ {2} & {-3}\end{array}\right]$ ，求 $\boldsymbol{A}^{100}$ .

• 提示： $|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{cc}{\lambda-4} & {5} \\ {-2} & {\lambda+3}\end{array}\right|=(\lambda+1)(\lambda-2)$
  
  • $\lambda_{1}=-1, \quad \lambda_{2}=2$ ， $\boldsymbol{A}$ 可对角化
• $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{ll}{1} & {5} \\ {1} & {2}\end{array}\right]$ ， $\boldsymbol{P}^{-1}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}{-2} & {5} \\ {1} & {-1}\end{array}\right]$，$\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\left[\begin{array}{cc}{-1} & {0} \\ {0} & {2}\end{array}\right] \boldsymbol{P}^{-1}$
• $\boldsymbol{A}^{100}=\boldsymbol{P}\left[\begin{array}{cc}{-1} & {0} \\ {0} & {2}\end{array}\right]^{100} \boldsymbol{P}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}{1} & {5} \\ {1} & {2}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{(-1)^{100}} & {0} \\ {0} & {2^{100}}\end{array}\right] \frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}{-2} & {5} \\ {1} & {-1}\end{array}\right]$
  
  • $=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cc}{-2+5 \times 2^{100}} & {5-5 \times 2^{100}} \\ {-2+2^{101}} & {5-2^{101}}\end{array}\right]$

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相似对角化的应用：2. 求解线性微分方程组

• 思路：利用方阵的相似对角化将一阶常系数齐次线性微分方程组转化为一组相互独立的微分方程，然后逐个求解.

• 对于方程组 $\boldsymbol{x}'(t)=\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(t)$，其中 $\boldsymbol{x}(t)\in\mathbb{R}^n$，$\boldsymbol{A}\in\mathbb{R}^{n\times n}$，$\boldsymbol{x}'(t)$表示对 $\boldsymbol{x}(t)$ 的每个分量分别关于 $t$ 求导.

• 若 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化，即：$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP}=\mathrm{diag}\{\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\}$,
  
  • 令 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{x}$，记 $\boldsymbol{y}=[y_1\;y_2\;\ldots\;y_n]^{\mathrm{T}}$，
  • 则 $\boldsymbol{y}'=\mathrm{diag}\{\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\}\boldsymbol{y}$，即 ${y}'_i=\lambda_iy_i,\;(i=1,2,\ldots,n)$.
• 逐个解出 $y_i(i=1,...,n)$，得到 $\boldsymbol{y}$，再由 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P}\boldsymbol{y}$ 即得原方程的解.

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例 求解常系数线性微分方程组

$$\left\{\begin{array}{l}{{x}'_{1}=x_{1}-3 x_{2}+3 x_{3}} \\ {{x}'_{2}=3 x_{1}-5 x_{2}+3 x_{3}} \\ {{x}'_{3}=6 x_{1}-6 x_{2}+4 x_{3}}\end{array}\right.$$

其中 $x_{i}=x_{i}(t),\;{x}'_{i}=\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}x_{i}(t),i=1,2,3$ .

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提示

• 记 $\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}{x_{1}} \\ {x_{2}} \\ {x_{3}}\end{array}\right], \quad {\boldsymbol{x}}'=\left[\begin{array}{c}{{x}'_{1}} \\ {{x}'_{2}} \\ {{x}'_{3}}\end{array}\right], \quad \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {-3} & {3} \\ {3} & {-5} & {3} \\ {6} & {-6} & {4}\end{array}\right]$，
• 于是方程组写为：${\boldsymbol{x}}'=\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$.
• 将矩阵 $\boldsymbol{A}$ 相似对角化：
  
  • $|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}{\lambda-1} & {3} & {-3} \\ {-3} & {\lambda+5} & {-3} \\ {-6} & {6} & {\lambda-4}\end{array}\right|=(\lambda-4)(\lambda+2)^{2}$,
  • 求得 $\boldsymbol{A}$ 的特征值： $\lambda_{1}=4, \quad \lambda_{2}=\lambda_{3}=-2$.

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• 进一步解得对应的特征向量 $\boldsymbol{p}_{1}=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {2}\end{array}\right],\quad \boldsymbol{p}_{2}=\left[\begin{array}{l}{1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right], \quad \boldsymbol{p}_{3}=\left[\begin{array}{l}{0} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right]$.
• 令 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{lll}{\boldsymbol{p}_{1}} & {\boldsymbol{p}_{2}} & {\boldsymbol{p}_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {0} \\ {1} & {1} & {1} \\ {2} & {0} & {1}\end{array}\right]$,
• 则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\mathrm{diag}\{4,-2,-2\}$.

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• 令 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{x}$，则 $\left[\begin{array}{c}{{y}'_{1}} \\ {{y}'_{2}} \\ {{y}'_{3}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}{4} & {} \\ {} & {-2} \\ {} & {}&-2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y_{1}} \\ {y_{2}} \\ {y_{3}}\end{array}\right]$，也即 $\left\{\begin{array}{l}{{y}'_{1}=4 y_{1}} \\ {{y}'_{2}=-2 y_{2}} \\ {{y}'_{3}=-2 y_{3}}\end{array}\right.$.
• 解之得 $\left\{\begin{array}{l}{y_{1}=c_{1} e^{4 t}} \\ {y_{2}=c_{2} e^{-2 t}} \\ {y_{3}=c_{3} e^{-2 t}}\end{array}\right.$，其中 $c_1,c_2,c_3$ 是任意实数.
• 代回 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 即得 $\left\{\begin{array}{l}{x_{1}(t)=c_{1} e^{4 t}+c_{2} e^{-2 t}} \\ {x_{2}(t)=c_{1} e^{4 t}+\left(c_{2}+c_{3}\right) e^{-2 t}} \\ {x_{3}(t)=2 c_{1} e^{4 t}+c_{3} e^{-2 t}}\end{array}\right.$， $c_1,c_2,c_3$ 是任意实数.

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小结

• 方阵可相似对角化的充分必要条件
• 方阵相似对角化的计算过程
• 方阵相似对角化的应用
  
  • 计算方阵的幂
  • 求解一阶常系数线性微分方程组

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附注：方阵的迹及其基本性质

方阵 $\boldsymbol{A}=[a_{ij}]_{n\times n}$ 的迹定义为

$$\mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\sum\limits_{i=1}^na_{ii}$$

• 性质： 设$\boldsymbol{A},\boldsymbol{B}\in F^{n\times n},k,l\in F$
  
  • $\mathrm{tr}(k\boldsymbol{A}\pm l\boldsymbol{B})=k\mathrm{tr}(\boldsymbol{A})\pm l\mathrm{tr}(\boldsymbol{B})$
  • $\mathrm{tr}(\boldsymbol{AB})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{BA})$
  • 设 $\boldsymbol{A}\sim \boldsymbol{B}$，则 $\mathrm{tr}(\boldsymbol{A})=\mathrm{tr}(\boldsymbol{B})$

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性质：方阵的迹等于其全体特征值的和

• $|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\lambda^n-(a_{11}+a_{22}+...+a_{nn})\lambda^{n-1}+...(-1)^n|\boldsymbol{A}|,$
• 由多项式根与系数的关系可知 $\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i=\mathrm{tr}(\boldsymbol{A}).$

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性质： 幂等阵 (满足 $\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{A}$ 的方阵 $\boldsymbol{A}$) 的秩和迹相等

• 幂等矩阵的特征值只可能是 $0$ 或 $1$
• $\boldsymbol{A}$ 相似于对角元只包含 $0,1$ 的对角阵
• 对角元只包含 $0,1$ 的对角阵的秩等于其对角线上 $1$ 的个数，也等于其对角元的和