高等工程数学期末考试样卷

高等工程数学 讲义 2025AU

注：$t_{0.05}(98)=-1.6606$

一、填空题（共10小题，每题3分，共30分）

1. 下列选项中不正确的有 $\underline{\hspace{2cm}}$.
   
   • (A) 相似矩阵具有相同的行列式和初等因子；
   • (B) 方阵的最小多项式一定可以整除其特征多项式；
   • (C) 方阵特征值的代数重数对应于其 Jordan 标准形中与该特征值对应的 Jordan 块的个数；
   • (D) 已知方阵的最小多项式，其 Jordan 标准形也就确定了（不考虑 Jordan 块的排列次序.
2. 已知 $T$ 为 $\mathbb{R}^{2\times 2}$ 上的线性变换，对任意 $\boldsymbol{X}\in \mathbb{R}^{2\times 2}$，$T\boldsymbol{X}=\boldsymbol{X}-\boldsymbol{X}^{\mathrm{T}}$，则 $T$ 的值空间的维数为 $\underline{\hspace{2cm}}$.
3. 已知矩阵 $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}\sim\mathrm{diag}\{1,1,(\lambda-1)^2,(\lambda-1)(\lambda-3)\}$，则 $\boldsymbol{A}$ 的各级行列式因子为$\underline{\hspace{6cm}}$（按幂次由低到高排列，用逗号分隔）.
4. $\sin\begin{bmatrix} \pi/2 \\ 1 & \pi/2 \\ & & \pi/2 & 1\\ &&& \pi/2\end{bmatrix}=\underline{\hspace{4em}}$.
5. 已知 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix}1-2\mathrm{i} & 2 & 0\\ 0 & -1 & 1+\mathrm{i} \\ 2\mathrm{i} & 2 & 2\end{bmatrix}$，其中 $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$，则诱导范数 $\|\boldsymbol{A}\|_1=\underline{\hspace{4em}}$.
6. 设 $X_1,X_2,Y_1,Y_2$ 是来自总体 $N(\mu,\sigma^2)$ 的简单随机样本，令
   $$\overline{X}=\dfrac{1}{2}(X_1+X_2),\;\; \overline{Y}=\dfrac{1}{2}(Y_1+Y_2),\;\; S_1^2=\dfrac{1}{2}(X_1-X_2)^2,\;\; S_2^2=\dfrac{1}{2}(Y_1-Y_2)^2,$$
   则当常数 $c=\underline{\hspace{4em}}$ 时，统计量 $\dfrac{c(\overline{X}-\overline{Y})}{\sqrt{S_1^2+S_2^2}}$ 服从 $\underline{\hspace{4em}}$ 分布（需写明自由度）.
7. 设 $X_1,X_2,X_3$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，未知参数 $\sigma^2=D(X)<+\infty$，则当 $c=\underline{\hspace{4em}}$ 时，$\hat{\sigma}^2=\dfrac{c}{2}(X_1-X_2)^2+\dfrac{1}{2}(X_2-X_3)^2$ 为 $\sigma^2$ 无偏估计．
8. 设总体 $X$ 的密度为 $f(x)=\begin{cases}\lambda\mathrm{e}^{-\lambda x}, & x\geq 0\\ 0, & x<0\end{cases}$，则参数 $\lambda$ 的 Fisher 信息 $I(\lambda)=\underline{\hspace{2cm}}$.
9. 设随机向量 $\boldsymbol{X}=\begin{bmatrix}x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}$ 的协方差矩阵 $\boldsymbol{V}=\begin{bmatrix}3 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$，则 $\boldsymbol{X}$ 的第一主成分为 $\underline{\hspace{3cm}}$.
10. 某次单因子方差分析得到的方差分析表局部如下

方差来源	平方和	自由度	均方
因子水平 $S_A$	3588.05
随机误差 $S_e$		9
总离差 $S_T$	5274.67	11

则其中的检验统计量 $F=\underline{\hspace{2cm}}$. (至少保留两位小数)

---

二、解答题 (10 分) 给定线性变换 $T:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3$ 如下

$$T\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} x_1-x_2+x_3+x_4\\ x_1+2x_2-x_4\\ x_1+x_2+3x_3-x_4 \end{bmatrix},\quad (x_1,x_2,x_3,x_4\in\mathbb{R})$$
求 $T$ 的零空间与值空间的基与维数.

---

三、解答题 (10 分) 设 $P_3(t)$ 表示次数不超过 $3$ 的实系数多项式构成的线性空间，定义其上的内积

$$\langle f(t),g(t)\rangle=\int_{-1}^1f(t)g(t)\mathrm{d}t,\quad(f(t),g(t)\in P_3(t)).$$
记 $V_1=\mathrm{span}\{1,t\}$，$V_2=\mathrm{span}\left\{t^2-\dfrac{1}{3},t^3-\dfrac{3}{5}t\right\}$，证明：$V_1$ 和 $V_2$ 互为正交补.

---

四、解答题 (10 分) 已知向量 $\boldsymbol{\alpha}=[-1\;\;-1\;\;1]^{\mathrm{T}}$，$\boldsymbol{\beta}=[3\;\;3\;\;3]^{\mathrm{T}}$，求 Householder 矩阵 $\boldsymbol{H}$，使得 $\boldsymbol{H\alpha}=k\boldsymbol{\beta}$，其中 $k$ 为正实数，给出 $k$ 的值.

---

五、解答题 (10 分) 已知 $\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} \pi & 0 & 0\\ 0 & \pi^2 & \frac{\pi^2}{2}\\ 0 & 0 & \pi^2\end{bmatrix}$，求 $\sin(\boldsymbol{A}t)$.

---

六、解答题 (10 分) 设总体 $X$ 的概率密度为

$$f(x;\theta)=\begin{cases} \dfrac{1}{\theta}, & x\in[0,\theta]\\ 0, & x\notin[0,\theta] \end{cases},$$
其中参数 $\theta>0$ 未知，$X_1,X_2,...,X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本.

（1）求 $\theta$ 的极大似然估计 $\hat{\theta}$；

（2）论证 $\hat{\theta}$ 是否为 $\theta$ 的无偏估计.

---

七、解答题 (10 分) 在某高校中，从喜欢参加体育运动的男生（A 组）中随机抽取 $n=50$ 名男生测其身高，得身高平均值为 $\overline{x}=174$ 厘米，修正的样本标准差为 $\tilde{s}_1=5$ 厘米；从不喜欢参加体育运动的男生（B 组）中也随机抽取 $n=50$ 名男生测其身高，得平均身高为 $\overline{y}=172$ 厘米，修正的样本标准差为 $\tilde{s}_2=6$ 厘米. 假定两种情况下的男生身高服从方差相等的正态分布，问 A 组身高是否显著高于 B 组?

八、解答题 (10 分) 设有线性模型

$$\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \sqrt{2} & \sqrt{2} & 0 \\ \sqrt{2} & -\sqrt{2} & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} e_1 \\ e_2 \\ e_3 \end{bmatrix}$$
其中 $y_1,y_2,y_3$ 是已知的测量值，$e_1,e_2,e_3$ 相互独立且均服从 $N(0,\sigma^2)$.

(1) 求参数 $x_1,x_2,x_3$ 的最小二乘估计 $\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3$；

(2) 判断 $\hat{x}_1,\hat{x}_2,\hat{x}_3$ 是否相互独立.