2.2 Jordan标准形

高等工程数学 讲义 2025AU

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2.2.1 问题的提出

若方阵 $\boldsymbol{A}$ 不能相似对角化，那么在相似变换下， $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP}$ 可否/如何化为其他较为简单的形式？

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Jordan 块 (Jordan Block)

$$\left[\begin{array}{cccc}{\lambda} & {1} & {} & {} \\ {} & {\lambda} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\lambda}\end{array}\right]$$

其中 $\lambda\in\mathbb{C}$ .

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子 Jordan 矩阵 (Jordan Submatrix)

$$\left[\begin{array}{cccc}{\boldsymbol{J}_{1}(\lambda)} & {} & {} & {} \\ {} & {\boldsymbol{J}_{2}(\lambda)} & {} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {} & {\boldsymbol{J}_{s}(\lambda)}\end{array}\right]$$

其中 $\boldsymbol{J}_i(\lambda)$ 是对角元为 $\lambda$ 的 Jordan 块.

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Jordan 矩阵 (Jordan Matrix)

$$\left[\begin{array}{cccc}{\boldsymbol{J}_{1}\left(\lambda_{1}\right)} & {} & {} & {} \\ {} & {\boldsymbol{J}_{2}\left(\lambda_{2}\right)} & {} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {} & {\boldsymbol{J}_{s}\left(\lambda_{s}\right)}\end{array}\right]$$

其中 $\boldsymbol{J}_i(\lambda_i)$ 是对角元为 $\lambda_i$ 的子 Jordan 矩阵.

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Jordan 标准形

若 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 相似于 Jordan 矩阵 $\boldsymbol{J}$ ，即：存在 $n$ 阶可逆方阵 $\boldsymbol{P}$ ，使得

$$\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP}=\boldsymbol{J}$$

则称 $\boldsymbol{J}$ 为 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形[1] (Jordan Normal/Canonical Form)

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构造相似变换求 Jordan 标准形

例 求方阵

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}{1} & {2} & {-6} \\ {1} & {0} & {-3} \\ {1} & {1} & {-4}\end{array}\right]$$

的 Jordan 标准形及其对应的相似变换矩阵.

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分析：

• 令 $f_{A}(\lambda)=|\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}{\lambda-1} & {-2} & {6} \\ {-1} & {\lambda} & {3} \\ {-1} & {-1} & {\lambda+4}\end{array}\right|=(\lambda+1)^{3}=0$，
  
  • 解得 $\boldsymbol{A}$ 的特征值 $\lambda_{1}=\lambda_{2}=\lambda_{3}=-1$.
• 解方程组 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，
  
  • $\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I}=\left[\begin{array}{ccc}{2} & {2} & {-6} \\ {1} & {1} & {-3} \\ {1} & {1} & {-3}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}{1} & {1} & {-3} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0}\end{array}\right]$，
  • 可见特征值 $-1$ 的几何重数为 $2$ ，小于其代数重数，故 $\boldsymbol{A}$ 不可相似对角化！

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求 Jordan 标准形的思路：

• 解 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$ 求得 $\boldsymbol{A}$ 的两个线性无关的特征向量 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2$.
• 将 $\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2\}$ 扩张成 $\mathbb{R}^3$ 的基 $\{\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2,\boldsymbol{x}_3\}$ ，满足 $\bbox[yellow]{(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}_3=\boldsymbol{x}_2}$.
• 令 $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{x}_1\;\boldsymbol{x}_2\;\boldsymbol{x}_3]$，则 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\left[\begin{array}{ccc}{-1} & {} & {} \\ {} & {-1} & {1} \\ {} & {} & {-1}\end{array}\right]$.
• 上式右端即为 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形.

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计算过程：

• 令 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，求得线性无关的特征向量 $[3\;\;0\;\;1]^{\mathrm{T}}$ 和 $[-1\;\;1\;\;0]^{\mathrm{T}}$.
• 令 $\boldsymbol{x}_2=\left[\begin{array}{c}{3} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right]$ 或 $\left[\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right]$，可发现对应方程组 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_2$ 都无解.
• 为此，需要考虑适当地选择 $\boldsymbol{x}_2$，使得 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_2$ 有解.
• 事实上，一般地可将 $\boldsymbol{x}_2$ 写为 $c_1[3\;\;0\;\;1]^{\mathrm{T}}+c_2[-1\;\;1\;\;0]^{\mathrm{T}}$，$(c_1,c_2\in\mathbb{R})$.

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• 考虑形如 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的方程组，其中 $\boldsymbol{b}=[b_1\;\;b_2\;\;b_3]^{\mathrm{T}}$.
• $[\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I}\;\; \boldsymbol{y}]=\left[\begin{array}{ccc}{2} & {2} & {-6}& {b_{1}} \\ {1} & {1} & {-3}& {b_{2}} \\ {1} & {1} & {-3 } &{b_{3}}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccccc}{0} & {0} & {0} & {b_{1}-2 b_{3}} \\ {0} & {0} & {0} &{b_{2}-b_{3}} \\ {1} & {1} & {-3} & {b_{3}}\end{array}\right]$,
• 由此可知，当且仅当 $\bbox[yellow]{\left\{\begin{array}{l}b_1-2b_3=0\\ b_2-b_3=0\end{array}\right.}$ 时，方程组 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
• 注意到 $\boldsymbol{x}_2=c_1\left[\begin{array}{c}{3} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right]+c_2\left[\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3c_1-c_2\\ c_2\\ c_1\end{array}\right],\; (c_1,c_2\in\mathbb{R})$，
• 适当地选择 $c_1,c_2$，满足前述方程组有解的条件，即可保证 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_2$ 有解.

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• 令 $\left[\begin{array}{c}b_1\\ b_2\\ b_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}3c_1-c_2\\ c_2\\ c_1\end{array}\right]$，
• 代入方程 $\left\{\begin{array}{l}b_1-2b_3=0\\ b_2-b_3=0\end{array}\right.$，解得 $c_1=c_2$.
• 取 $\boldsymbol{x}_2=\left[\begin{array}{c}{3} \\ {0} \\ {1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}{-1} \\ {1} \\ {0}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{2} \\ {1} \\ {1}\end{array}\right]$,
• 解方程组 $(\boldsymbol{A}+\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}_2$，得到 $\boldsymbol{x}_{3}=[0\;\;1\;\;0]^{\mathrm{T}}$.

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• 综上，得到 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形 $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccc}-1\\ & -1 & 1\\ && -1\end{array}\right]$.
• 对应的相似变换矩阵 $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{x}_1\;\boldsymbol{x}_2\;\boldsymbol{x}_3]=\left[\begin{array}{ccc}3 & 2 & 0 \\ 0& 1 & 1\\ 1& 1 & 0\end{array}\right]$.
• $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{PJP}^{-1}$ 或 $\boldsymbol{P}^{-1}\boldsymbol{AP}=\boldsymbol{J}$.

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定理 任意方阵均可通过相似变换化为 Jordan 标准形，且若不考虑其中 Jordan 块的排列次序，该 Jordan 标准形是唯一确定的.[2]

• 在 Jordan 标准形中，通常将相同对角线元素的 Jordan 块紧靠在一起构成一个子 Jordan 阵，此时
  
  • Jordan 标准形中子 Jordan 阵的个数等于方阵的不同特征值的个数
  • 每个子 Jordan 阵的阶数等于对应特征值的代数重数
  • 每个子 Jordan 阵中的 Jordan 块个数等于对应特征值的几何重数

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思考： 在方阵的 Jordan 标准形确定的情况下，对应的相似变换矩阵是唯一确定的吗？

• 不唯一！
• 若 $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{x}_1\;\;\boldsymbol{x}_2\;...\;\boldsymbol{x}_n]$ 满足 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{PJP}^{-1}$
• 则 $\boldsymbol{P}_1=[-\boldsymbol{x}_1\;\;\boldsymbol{x}_2\;...\;\boldsymbol{x}_n]$ 同样满足 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}_1\boldsymbol{JP}_1^{-1}$

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2.2.2 行列式因子、不变因子与初等因子

行列式因子

设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶方阵，称矩阵

$$\boldsymbol{A}(\lambda) =\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}$$

为 $\boldsymbol{A}$ 的 特征矩阵 (Characteristic Matrix).

• $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 中所有非零的 k 级子式的首项系数 1 的最大公因式(Greatest Common Factor with Leading Coefficient 1) $D_k(\lambda)$ 称为 $\boldsymbol{A}$ 的 $k$ 级 行列式因子 (Determinant Factor)， $k=1,2,...,n$ .

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例 求方阵

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}{2} & {1} & {} & {} \\ {} & {2} & {1} & {} \\ {} & {} & {2} & {1} \\ {} & {} & {} & {2}\end{array}\right]$$

的各级行列式因子.

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提示

• $\boldsymbol{A}(\lambda)=\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda-2} & {-1} & {} \\ {} & {\lambda-2} & {-1} \\ {} & {} & {\lambda-2} & {-1} \\ {} & {} & {} & {\lambda-2}\end{array}\right]$
• 非零 $1$ 级子式： $-1,\lambda-2$
  
  • $1$ 级行列式因子： $D_1(\lambda)=1$
• 非零 $2$ 级子式： $1,(\lambda-2)^2$
  
  • $2$ 级行列式因子： $D_2(\lambda)=1$
• 非零 $3$ 级子式： $-1,(\lambda-2)^3$
  
  • $3$ 级行列式因子： $D_3(\lambda)=1$
• 非零 $4$ 级子式： $(\lambda-2)^4$
  
  • $4$ 级行列式因子： $D_4(\lambda)=(\lambda-2)^4$

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行列式因子的性质

• $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的任一个 $k$ 级子式都可以按一行或一列展开为 $k-1$ 级子式的代数和.
• $D_{k-1}(\lambda)$ 是所有 $k-1$ 级子式的公因式,
  
  • 所以 $D_{k-1}(\lambda)$ 也是所有 $k$ 级子式的公因式.
• $D_k(\lambda)$ 是所有 $k$ 级子式的最大公因式,
  
  • 所以 $D_{k-1}(\lambda)$ 能整除 $D_{k}(\lambda)$ .

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不变因子

设 $D_k(\lambda),\;k=1,2,\ldots,n$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的各级行列式因子，以下 $n$ 个多项式称为 $\boldsymbol{A}$ 的 不变因子 (Invariant Factor)

• $d_1(\lambda)=D_1(\lambda)$ ,
• $d_k(\lambda)=\dfrac{D_k(\lambda)}{D_{k-1}(\lambda)},\;k=2,3,\ldots,n$ .

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例 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {1} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]$ 的各级行列式因子和不变因子.

• $\boldsymbol{A}(\lambda)=\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda-1} & {0} & {0} \\ {0} & {\lambda-1} & {-1} \\ {0} & {0} & {\lambda-1}\end{array}\right]$
• $D_1(\lambda)=d_1(\lambda)=1$
• $D_2(\lambda)=d_2(\lambda)=\lambda-1$
• $D_3(\lambda)=(\lambda-1)^3$ ， $d_3(\lambda)=(\lambda-1)^2$

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特征矩阵的初等变换

• 以下对 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的变换称为该矩阵的 初等变换
  
  • 两行互换 ($r_i\leftrightarrow r_j$)，两列互换 ($c_i\leftrightarrow c_j$)
  • 用非零常数乘以某行 ($k\cdot r_i$) 或某列 ($k\cdot c_i$)
  • 用多项式 $\varphi(\lambda)$ 乘以某行（列）后加到另一行（列）
    
    • $r_i+r_j\varphi(\lambda)\to r_i,\; c_i+c_j\varphi(\lambda)\to c_i$
• 定理 矩阵的行列式因子和不变因子在 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的初等变换下是不变的.
  
  • $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 的初等变换最多使其行列式的值相差一个常数倍.

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Smith 标准形

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的特征矩阵 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 在初等变换下，可化为对角阵

$$\mathrm{diag}\{\varphi_1(\lambda),\varphi_2(\lambda),\ldots,\varphi_n(\lambda)\}.$$

• 其中：
  
  • $\varphi_i(\lambda)$ 是首项系数为 $1$ 的多项式
  • $\varphi_{i-1}(\lambda)$ 可以整除 $\varphi_i(\lambda)$ ， $i=2,3,\ldots,n$
• 称以上对角阵为 $\boldsymbol{A}$ 的 Smith标准形 (Smith Normal Form)
• Smith标准形的对角元 $\varphi_1(\lambda),\varphi_2(\lambda),\ldots,\varphi_n(\lambda)$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的不变因子.

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例 求 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}{-1} & {-2} & {6} \\ {-1} & {0} & {3} \\ {-1} & {-1} & {4}\end{array}\right]$ 的Smith标准形，以及各级行列式因子和不变因子.

• $\boldsymbol{A}(\lambda) =\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda+1} & {2} & {-6} \\ {1} & {\lambda} & {-3} \\ {1} & {1} & {\lambda-4}\end{array}\right]$
• $\xrightarrow[r_2-r_3\to r_2]{r_1-r_3(\lambda+1)\to r_1} \left[\begin{array}{ccc}\bbox[lightgreen]{0} & \bbox[lightgreen]{-\lambda+1} & \bbox[lightgreen]{-(\lambda-2)(\lambda-1)} \\ \bbox[lightgreen]{0} & \bbox[lightgreen]{\lambda-1} & \bbox[lightgreen]{-\lambda+1} \\ {1} & {1} & {\lambda-4}\end{array}\right]$
• $\xrightarrow[c_2-c_1\to c_2]{c_3-c_1(\lambda-4)\to c_3}\left[\begin{array}{ccc}{0} & {-\lambda+1} & {-(\lambda-2)(\lambda-1)} \\ {0} & {\lambda-1} & {-\lambda+1} \\ {1} & \bbox[lightgreen]{0} & \bbox[lightgreen]{0}\end{array}\right]$

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• $\left[\begin{array}{ccc}{0} & {-\lambda+1} & {-(\lambda-2)(\lambda-1)} \\ {0} & {\lambda-1} & {-\lambda+1} \\ {1} & {0} & {0}\end{array}\right]$
• $\xrightarrow{r_1\leftrightarrow r_3} \left[\begin{array}{ccc}\bbox[lightgreen]{1} & \bbox[lightgreen]{0} & \bbox[lightgreen]{0} \\ {0} & {\lambda-1} & {-\lambda+1} \\ \bbox[lightgreen]{0} & \bbox[lightgreen]{-\lambda+1} & \bbox[lightgreen]{-(\lambda-2)(\lambda-1)}\end{array}\right]$
• $\xrightarrow{r_3+r_2\to r_3}\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {\lambda-1} & {-\lambda+1} \\ {0} & \bbox[lightgreen]{0} & \bbox[lightgreen]{-(\lambda-1)^{2}}\end{array}\right]$
• $\xrightarrow[c_3\cdot(-1)]{c_3+c_2\to c_3} \left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {\lambda-1} & \bbox[lightgreen]{0} \\ {0} & {0} & {(\lambda-1)^{2}}\end{array}\right]$

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• Smith 标准形 $\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {\lambda-1} & {0} \\ {0} & {0} & {(\lambda-1)^{2}}\end{array}\right]$
• 不变因子：$d_{1}(\lambda)=1, \quad d_{2}(\lambda)=\lambda-1, \quad d_{3}(\lambda)=(\lambda-1)^{2}$
• 行列式因子：$D_{1}(\lambda)=1, \quad D_{2}(\lambda)=\lambda-1, \quad D_{3}(\lambda)=(\lambda-1)^{3}$

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例 已知 $\boldsymbol{A}(\lambda)$ 经过初等变化可化为

$$\begin{bmatrix} 1\\ & \lambda+1 \\ && (\lambda-1)^2 \end{bmatrix},$$

求 $\boldsymbol{A}$ 的行列式因子和不变因子.

• 提示： 对于较为简单的矩阵（例如：对角阵），利用定义求其行列式因子和不变因子更为方便.

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化为 Smith 标准形的计算过程

• $\begin{bmatrix} 1\\ & \lambda+1 \\ && (\lambda-1)^2\end{bmatrix}\xrightarrow{c_2+c_3\to c_3}\begin{bmatrix} 1\\ & \lambda+1 & \lambda+1 \\ && (\lambda-1)^2\end{bmatrix}$
• $\xrightarrow{r_3+r_2(\lambda-1)\to r_3}\begin{bmatrix} 1\\ & \lambda+1 & \lambda+1 \\ & \lambda^2-1 & 2(\lambda-1)\end{bmatrix}$
• $\xrightarrow{r_3-r_22\lambda\to r_3}\begin{bmatrix} 1\\ & \lambda+1 & \lambda+1 \\ & (\lambda-3)(\lambda+1) & -4\end{bmatrix}$

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• $\xrightarrow{r_3-r_22\lambda\to r_3}\begin{bmatrix} 1\\ & \lambda+1 & \lambda+1 \\ & (\lambda-3)(\lambda+1) & -4\end{bmatrix}$
• $\xrightarrow[c_2+c_3\frac{1}{4}(\lambda-3)(\lambda+1)\to c_3]{r_2+r_3\frac{1}{4}(\lambda+1)\to r_3}\begin{bmatrix} 1 \\ & \dfrac{1}{4}(\lambda-1)^2(\lambda+1)\\ && -4 \end{bmatrix}$
• $\xrightarrow[-\frac14\cdot r_2,\;4\cdot r_3]{c_2\leftrightarrow c_3,\;r_2\leftrightarrow r_3}\begin{bmatrix} 1 \\ & 1\\ && (\lambda-1)^2(\lambda+1) \end{bmatrix}$

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初等因子

将 $\boldsymbol{A}$ 的每个不变因子在复数域分解为互不相同的一次因式方幂的乘积，所有的这些一次因式方幂称为 $\boldsymbol{A}$ 的 初等因子. (Elementary Divisor)

• 例：设 $\boldsymbol{A}$ 的不变因子是：
  
  • $d_{1}(\lambda)=d_{2}(\lambda)=\ldots=d_{5}(\lambda)=1$,
  • $d_{6}(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)^{2}$,
  • $d_{7}(\lambda)=(\lambda-1)^{2}(\lambda-2)^{2}$.
• 则 $\boldsymbol{A}$ 的初等因子是 $\lambda-1,(\lambda-2)^{2},(\lambda-1)^{2},(\lambda-2)^{2}$.

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例 求

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{llll}{4} & {3} & {0} & {1} \\ {0} & {2} & {0} & {0} \\ {1} & {3} & {2} & {1} \\ {0} & {0} & {0} & {2}\end{array}\right]$$

的不变因子和初等因子.

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提示

• $\boldsymbol{A}(\lambda) =\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda-4} & {-3} & {0} & {-1} \\ {0} & {\lambda-2} & {0} & {0} \\ {-1} & {-3} & {\lambda-2} & {-1} \\ {0} & {0} & {0} & {\lambda-2}\end{array}\right]$
  
  • $\to\cdots\cdots\to\left[\begin{array}{cccc}{1} & {0} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {\lambda-2} & {0} \\ {0} & {0} & {0} & {(\lambda-2)^{2}(\lambda-4)}\end{array}\right]$
• $\boldsymbol{A}$ 的不变因子： $d_{1}(\lambda)=d_{2}(\lambda)=1$
  
  • $d_{3}(\lambda)=\lambda-2, \quad d_{4}(\lambda)=(\lambda-2)^{2}(\lambda-4)$
• $\boldsymbol{A}$ 的初等因子： $\lambda-2, (\lambda-2)^{2}, \lambda-4$

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分块对角阵的初等因子

定理 设方阵 $\boldsymbol{A}$ 为分块对角阵

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc}{\boldsymbol{A}_{1}} & {} & {} & {} \\ {} & {\boldsymbol{A}_{2}} & {} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {} & {\boldsymbol{A}_{s}}\end{array}\right]$$

则 $\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,\ldots,\boldsymbol{A}_s$ 的初等因子的全体就是 $\boldsymbol{A}$ 的全部初等因子.

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Jordan 块的初等因子

定理 $k$ 阶 Jordan 块

$$\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda_{0}} & {1} & {} & {} \\ {} & {\lambda_{0}} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\lambda_{0}}\end{array}\right]_{k \times k}$$

的初等因子是 $\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{k}$ .

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证明

• $\boldsymbol{J}(\lambda) = \lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{cccc}{\lambda-\lambda_{0}} & {-1} & {} & {} \\ & {\lambda-\lambda_{0}} & {\ddots} & {} \\ {} & {} & {\ddots} & {-1} \\ {} & {} & {} & {\lambda-\lambda_{0}}\end{array}\right]_{k \times k}$
• 行列式因子： $D_{1}(\lambda)=D_{2}(\lambda)=\ldots=D_{k-1}(\lambda)=1, D_{k}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{k}$
• 不变因子： $d_{1}(\lambda)=d_{2}(\lambda)=\ldots=d_{k-1}(\lambda)=1, d_{k}(\lambda)=\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{k}$
• 初等因子： $\left(\lambda-\lambda_{0}\right)^{k}$

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2.2.3 初等因子与 Jordan 标准形

相似矩阵的初等因子

定理 两个同阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似的充要条件是它们有相同的不变因子或初等因子.[3]

• 初等因子和不变因子都是方阵的相似不变量.
• 方阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化的充要条件是其初等因子全是一次多项式.

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利用初等因子求 Jordan 标准形

1. 求出 $\boldsymbol{A}$ 的所有初等因子： $\left(\lambda-\lambda_{1}\right)^{k_{1}},\left(\lambda-\lambda_{2}\right)^{k_{2}}, \cdots,\left(\lambda-\lambda_{s}\right)^{k_{s}}$
2. 对每个初等因子 $\left(\lambda-\lambda_{i}\right)^{k_{i}}$ 写出对应的Jordan块
   
   • $\boldsymbol{J}_{i}=\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda_{i}} & {1} \\ {} & {\lambda_{i}} & {\ddots} \\ {} & {} & {\ddots} & {1} \\ {} & {} & {} & {\lambda_{i}}\end{array}\right]_{k_{i} \times k_{i}}$
3. $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形为 $\boldsymbol{J}=\mathrm{diag}\{\boldsymbol{J}_1,\boldsymbol{J}_2,\ldots,\boldsymbol{J}_s\}$

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分块对角阵的 Jordan 标准形与初等因子

定理 若 $\boldsymbol{A}_i\sim\boldsymbol{J}_i\;(i=1,...,s)$，则

$$\mathrm{diag}\{\boldsymbol{A}_1,\boldsymbol{A}_2,...,\boldsymbol{A}_s\}\sim\mathrm{diag}\{\boldsymbol{J}_1,\boldsymbol{J}_2,...,\boldsymbol{J}_s\}$$

• 推论 分块对角阵中所有分块的初等因子的全体就是该矩阵的全部初等因子.
• 推论 方阵 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化的充要条件是其初等因子全是一次多项式.

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例 求 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ccccc}{0} & {1} & {} & {} & {} \\ {-1} & {0} & {} & {} & {} \\ & {} & {0} & {1} & {1} \\ {} & {} & {1} & {0} & {1} \\ {} & {} & {1} & {1} & {0}\end{array}\right]$ 的 Jordan 标准形.

• 提示：记 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}{\boldsymbol{A}_{1}} & {} \\ {} & {\boldsymbol{A}_{2}}\end{array}\right]$
  
  • 其中 $\boldsymbol{A}_{1}=\left[\begin{array}{cc}{0} & {1} \\ {-1} & {0}\end{array}\right],\;\;\boldsymbol{A}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {1} & {1} \\ {1} & {0} & {1} \\ {1} & {1} & {0}\end{array}\right]$

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提示：

• 记 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}{\boldsymbol{A}_{1}} & {} \\ {} & {\boldsymbol{A}_{2}}\end{array}\right]$
  
  • 其中 $\boldsymbol{A}_{1}=\left[\begin{array}{cc}{0} & {1} \\ {-1} & {0}\end{array}\right],\;\;\boldsymbol{A}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}{0} & {1} & {1} \\ {1} & {0} & {1} \\ {1} & {1} & {0}\end{array}\right]$
• $\boldsymbol{A}_1(\lambda)=\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_{1}=\left[\begin{array}{cc}{\lambda} & {-1} \\ {1} & {\lambda}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{cc}{1} & {0} \\ {0} & {\lambda^{2}+1}\end{array}\right]$
  
  • $\boldsymbol{A}_1$ 的初等因子：$\lambda+\mathrm{i}, \quad \lambda-\mathrm{i}$

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• $\boldsymbol{A}_2(\lambda)=\lambda \boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}_{2}=\left[\begin{array}{ccc}{\lambda} & {-1} & {-1} \\ {-1} & {\lambda} & {-1} \\ {-1} & {-1} & {\lambda}\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {0} & {(\lambda+1)} & {0} \\ {0} & {0} & {(\lambda-2)(\lambda+1)}\end{array}\right]$
  
  • $\boldsymbol{A}_2$ 的初等因子：$\lambda+1, \quad \lambda+1, \quad \lambda-2$
• $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形 $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{ccccc}{-\mathrm{i}} & {} & {} & {} & {} \\ {} & {\mathrm{i}} & {} & {} & {} \\ {} & {} & {-1} & {} & {} \\ {} & {} & {} & {-1} & {} \\ {} & {} & {} & {} & {2}\end{array}\right]$

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小结

• 方阵相似化简的一般形式：Jordan 标准形
  
  • Jordan 块、子 Jordan 矩阵、Jordan 矩阵
• Jordan 标准形的求解
  
  • 利用 Jordan 块的构造形式，求解变换矩阵
  • 初等因子法
    
    • 利用特征矩阵的初等变换求 Smith 标准形
    • 不变因子、行列式因子

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补充例题

例： 求方阵

$$\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ -9 & 4 & 9 & -4\\ -1 & 0 & 2 & 0\\ -4 & 1 & 4 & 0 \end{array}\right]$$

的 Jordan 标准形及其对应的变换矩阵.

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提示：

• $\boldsymbol{A}$ 特征值 $\lambda_1=1$, $\lambda_2=2$，其中 $\lambda_2$ 的代数重数为 $3$，但几何重数为 $1$
• $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形形如 $\boldsymbol{J}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 2 & 1 & \\ & & 2 & 1\\ & & & 2 \end{array}\right]$
• 设变换矩阵 $\boldsymbol{P}=[\boldsymbol{x}_1\;\;\boldsymbol{x}_2\;\;\boldsymbol{x}_3\;\;\boldsymbol{x}_4]$
• 其中 $\boldsymbol{x}_1,\boldsymbol{x}_2$ 分别为 $\lambda_1,\lambda_2$ 对应的特征向量
• 且有 $(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}_3=\boldsymbol{x}_2$，$(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}_4=\boldsymbol{x}_3$

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• $\lambda_1=1$ 对应的特征向量
  
  • $\boldsymbol{x}_1=[1\;\;0\;\;1\;\;0]^{\mathrm{T}}$
• $\lambda_2=2$ 对应的特征向量
  
  • $\boldsymbol{x}_2=[0\;\;2\;\;0\;\;1]^{\mathrm{T}}$

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• $[\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{I}\;\;\boldsymbol{y}]=\left[\begin{array}{cccc:c} -1 & 0 & 0 & 0 & y_1\\ -9 & 2 & 9 & -4 & y_2\\ -1 & 0 & 0 & 0 & y_3\\ -4 & 1 & 4 & -2 & y_4 \end{array}\right]$
  
  • $\to...\to\left[\begin{array}{cccc:c} 1 & 0 & 0 & 0 & -y_1\\ 0 & 1 & 4 & -2 & y_4-4y_1\\ 0 & 0 & 1 & 0 & y_2-y_1-2y_4\\ 0 & 0 & 0 & 0 & y_3-y_1 \end{array}\right]$
• 故 $y_1=y_3$ 时方程 $(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ 有解

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• 因为 $\boldsymbol{x}_2=[0\;\;2\;\;0\;\;1]^{\mathrm{T}}$ 满足使 $(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}_3=\boldsymbol{x}_2$ 有解的条件
  
  • 解方程可得 $\boldsymbol{x}_3=c_1[0\;\;1\;\;0\;\;0]^{\mathrm{T}}+c_2[0\;\;3\;\;0\;\;1]^{\mathrm{T}}$
  • 其中 $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ 且 $c_1+c_2=1$
• 取 $\boldsymbol{x}_3=[0\;\;1\;\;0\;\;0]^{\mathrm{T}}$ 使得 $(\boldsymbol{A}-2\boldsymbol{I})\boldsymbol{x}_4=\boldsymbol{x}_3$ 有解
  
  • 解得 $\boldsymbol{x}_4=c_1[0\;\;-4\;\;1\;\;0]^{\mathrm{T}}+c_2[0\;\;-2\;\;1\;\;1]^{\mathrm{T}}$
  • 其中 $c_1,c_2\in\mathbb{R}$ 且 $c_1+c_2=1$
• 不妨取 $\boldsymbol{x}_4=[0\;\;-4\;\;1\;\;0]^{\mathrm{T}}$

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• 综上，变换矩阵 $\boldsymbol{P}=\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 1 & -4\\ 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{array}\right]$
• $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{P}\left[\begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 2 & 1 & \\ & & 2 & 1\\ & & & 2 \end{array}\right]\boldsymbol{P}^{-1}$

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如果不需要求变换矩阵，可使用初等因子的方法：

• $\lambda\boldsymbol{I}-\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{cccc} \lambda-1 & 0 & 0 & 0\\ 9 & \lambda-4 & -9 & 4\\ 1 & 0 & \lambda-2 & 0\\ 4 & -1 & -4 & \lambda \end{array}\right]$
• $\xrightarrow[r_2-9r_3\to r_2,r_4-4r_3\to r_4]{r_1-(\lambda-1)r_3\to r_1}\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda-2) & 0\\ 0 & \lambda-4 & -9(\lambda-1) & 4\\ 1 & 0 & \lambda-2 & 0\\ 0 & -1 & -4(\lambda-1) & \lambda \end{array}\right]$

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• $\xrightarrow[r_2\leftrightarrow r_4,c_3-(\lambda-2)c_1\to c_3]{r_1\leftrightarrow r_3,(-1)r_4}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 4(\lambda-1) & -\lambda\\ 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda-2) & 0\\ 0 & \lambda-4 & -9(\lambda-1) & 4 \end{array}\right]$

• $\xrightarrow[]{r_4-(\lambda-4)r_2\to r_4}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 4(\lambda-1) & -\lambda\\ 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda-2) & 0\\ 0 & 0 & -(\lambda-1)(4\lambda-7) & (\lambda-2)^2 \end{array}\right]$

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• $\xrightarrow[c_4+\lambda c_2\to c_4]{c_3-4(\lambda-1)c_2\to c_3}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda-2) & 0\\ 0 & 0 & -(\lambda-1)(4\lambda-7) & (\lambda-2)^2 \end{array}\right]$
• $\xrightarrow[]{r_4+4r_3\to r_4}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda-2) & 0\\ 0 & 0 & -(\lambda-1) & (\lambda-2)^2 \end{array}\right]$

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• $\xrightarrow[]{r_3+(\lambda-2)r_4\to r_3}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & (\lambda-2)^3\\ 0 & 0 & -(\lambda-1) & (\lambda-2)^2 \end{array}\right]$
• $\xrightarrow[(-1)r_3]{r_3\leftrightarrow r_4}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda-1 & -(\lambda-2)^2\\ 0 & 0 & 0 & (\lambda-2)^3 \end{array}\right]$

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• $\xrightarrow[]{c_4+(\lambda-3)c_3\to c_4}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & \lambda-1 & -1\\ 0 & 0 & 0 & (\lambda-2)^3 \end{array}\right]$
• $\xrightarrow[]{c_3+(\lambda-1)c_4\to c_3}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -1\\ 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda-2)^3 & (\lambda-2)^3 \end{array}\right]$

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• $\xrightarrow[(-1)c_3]{c_3\leftrightarrow c_4}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -(\lambda-2)^3 & (\lambda-1)(\lambda-2)^3 \end{array}\right]$
• $\xrightarrow[]{r_4+(\lambda-2)^3r_3\to r_4}\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda-2)^3 \end{array}\right]$

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• 由此可知 $\boldsymbol{A}$ 的初等因子为 $\lambda-1$ 和 $(\lambda-2)^3$
• 进而 $\boldsymbol{A}$ 的 Jordan 标准形为 $\left[\begin{array}{cccc} 1 & & & \\ & 2 & 1 & \\ & & 2 & 1\\ & & & 2 \end{array}\right]$