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@zzzc18 2017-09-11T08:15:20.000000Z 字数 2409 阅读 528

KM算法

模板库


  1. //HDU2255
  2. #include<cstdio>
  3. #include<cstring>
  4. #include<algorithm>
  5. using namespace std;
  6. const int MAXN = 400;
  7. const int INF = 0x7fffffff;
  8. int MAP[MAXN][MAXN];
  9. struct data{
  10. int ex,vis;
  11. }l[MAXN],r[MAXN];
  12. int match[MAXN],slack[MAXN];
  13. int n;
  14. void INIT(){
  15. int i,j;
  16. for(i=1;i<=n;i++){
  17. for(j=1;j<=n;j++){
  18. scanf("%d",&MAP[i][j]);
  19. }
  20. }
  21. }
  22. bool DFS(int x){
  23. l[x].vis=1;
  24. int i;
  25. for(i=1;i<=n;i++){
  26. if(r[i].vis==1)
  27. continue;
  28. int sla=l[x].ex+r[i].ex-MAP[x][i];
  29. if(sla==0){
  30. r[i].vis=1;
  31. if(match[i]==-1 || DFS(match[i])){
  32. match[i]=x;
  33. return true;
  34. }
  35. }
  36. else{
  37. slack[i]=min(slack[i],sla);
  38. }
  39. }
  40. return 0;
  41. }
  42. void KM(){
  43. int i,j,k;
  44. for(i=1;i<=n;i++){
  45. l[i].ex=-INF;
  46. r[i].ex=0;
  47. match[i]=-1;
  48. for(j=1;j<=n;j++){
  49. l[i].ex=max(l[i].ex,MAP[i][j]);
  50. }
  51. }
  52. for(k=1;k<=n;k++){
  53. for(i=1;i<=n;i++)
  54. slack[i]=INF;
  55. while(true){
  56. for(i=1;i<=n;i++){l[i].vis=r[i].vis=0;}
  57. if(DFS(k))break;
  58. int d=INF;
  59. for(i=1;i<=n;i++){
  60. if(r[i].vis==0){
  61. d=min(d,slack[i]);
  62. }
  63. }
  64. for(i=1;i<=n;i++){
  65. if(l[i].vis){
  66. l[i].ex-=d;
  67. }
  68. if(r[i].vis){
  69. r[i].ex+=d;
  70. }
  71. else{
  72. slack[i]-=d;
  73. }
  74. }
  75. }
  76. }
  77. int ans=0;
  78. for(i=1;i<=n;i++){
  79. ans+=l[i].ex+r[i].ex;
  80. }
  81. printf("%d\n",ans);
  82. }
  83. int main(){
  84. while(scanf("%d",&n)!=EOF){
  85. INIT();
  86. KM();
  87. }
  88. return 0;
  89. }

http://blog.csdn.net/liguanxing/article/details/5665646
http://www.cnblogs.com/wenruo/p/5264235.html

这个算法的本质还是不断的找增广路;

KM算法是通过给每个顶点一个标号(叫做顶标)来把求最大权匹配的问题转化为求完备匹配的问的。设顶点Xi的顶标为A[i],顶点Yi的顶标为B[i],顶点Xi与Yj之间的边权为w[i,j]。在算法执行过程中的任一时刻,对于任一条边(i,j),A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立。

KM算法的正确性基于以下定理:
若由二分图中所有满足A[i]+B[j]=w[i,j]的边(i,j)构成的子图(称做相等子图)有完备匹配,那么这个完备匹配就是二分图的最大权匹配。

这个定理是显然的。因为对于二分图的任意一个匹配,如果它包含于相等子图,那么它的边权和等于所有顶点的顶标和;如果它有的边不包含于相等子图,那么它的边权和小于所有顶点的顶标和。所以相等子图的完备匹配一定是二分图的最大权匹配。

初始时为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]恒成立,令A[i]为所有与顶点Xi关联的边的最大权,B[j]=0。如果当前的相等子图没有完备匹配,就按下面的方法修改顶标以使扩大相等子图,直到相等子图具有完备匹配为止。

我们求当前相等子图的完备匹配失败了,是因为对于某个X顶点,我们找不到一条从它出发的交错路。这时我们获得了一棵交错树,它的叶子结点全部是X顶点。现在我们把交错树中X顶点的顶标全都减小某个值d,Y顶点的顶标全都增加同一个值d,那么我们会发现:

1、两端都在交错树中的边(i,j),A[i]+B[j]的值没有变化。也就是说,它原来属于相等子图,现在仍属于相等子图。
2、两端都不在交错树中的边(i,j),A[i]和B[j]都没有变化。也就是说,它原来属于(或不属于)相等子图,现在仍属于(或不属于)相等子图。
3、X端不在交错树中,Y端在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所增大。它原来不属于相等子图,现在仍不属于相等子图。X端在交错树中,Y端不在交错树中的边(i,j),它的A[i]+B[j]的值有所减小。也就说,它原来不属于相等子图,现在可能进入了相等子图,因而使相等子图得到了扩大。(关键点)

现在的问题就是求d值了。为了使A[i]+B[j]>=w[i,j]始终成立,且至少有一条边进入相等子图,d应该等于min{A[i]+B[j]-w[i,j]|Xi在交错树中,Yi不在交错树中}。

以上就是KM算法的基本思路。但是朴素的实现方法,时间复杂度为O(n4)——需要找O(n)次增广路,每次增广最多需要修改O(n)次顶标,每次修改顶标时由于要枚举边来求d值,复杂度为O(n2)。实际上KM算法的复杂度是可以做到O(n3)的。我们给每个Y顶点一个“松弛量”函数slack,每次开始找增广路时初始化为无穷大。在寻找增广路的过程中,检查边(i,j)时,如果它不在相等子图中,则让slack[j]变成原值与A[i]+B[j]-w[i,j]的较小值。这样,在修改顶标时,取所有不在交错树中的Y顶点的slack值中的最小值作为d值即可。但还要注意一点:修改顶标后,要把所有的slack值都减去d。(注意这个slack的神奇作用)

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