第五次作业

exercises1.6

摘要

• 这个题的要求是模拟人口增长的曲线，在选取不同的死亡率与出生率的系数情况下得到不同的人口增长曲线并得出规律，最后再比较通过Euler法于是季节。

背景介绍

• 人口增长模型

正文

人口增长公式为：${dN\over dt}=aN-bN^2$
上式中aN为人口增长率，$-bN^2$为人口死亡率，当人口增长率大于人口死亡率时人口数会衰减。
通过书上给出的Euler解法得到该式子的近似解为：$N(t+\Delta t)=N(t)+[aN(t)-bN^2(t)]dt$
而直接通过积分可以求得该式子的解析解为$N={ae^{at}\over {a\over N_0}-b+be^{at}}$
比较解析解以及近似解，得到图像分别如下：

b=0,即死亡率为零时，此时人口增长为指数增长：

a=10,b=3,N(0)=10时:

此时人口下降，最终趋向一个定值，该定值为a/b。

a=10,b=0.01,N(0)=1000时:

此时人口趋于一个定值，而该定值与初始人口数量一致，所以图像近似为一条直线。

当选取不同的a,b时，只要a/b的值大于初始人口那么图像则为一条下降的曲线，最终趋向a/b；而a/b的值小于初始人口图像则为一条上升的曲线，最终已久趋向a/b。

a=12,b=0.01,N(0)=1000

a=10,b=0.05,N(0)=1000

结论

人口增长曲线在死亡率为零时呈指数型，而在其他情况下最终都会趋向于一定值a/b，用Euler法求得的解与解析解基本拟合。

致谢

此处要感谢曹一同学的代码以及朱楚楚同学给出的公式编辑方法