第七次作业

exercises2.19

摘要

与发射炮弹相同，扔掷棒球时也可以看成是一个斜抛运动，但是棒球的质量很轻，并且棒球表面的纹路也会使得棒球在投掷出去时有一个角速度。所以对棒球进行分析时不能简单地值分析空气阻力以及重力，还得分析Magnus力对棒球运动的影响。

背景

马格纳斯效应是指在粘性不可压缩流体中运动的旋转圆柱受到举力的一种现象。比如，棒球在气流中运动时，如果其旋转的方向与气流同向，则会在球体的一侧产生低压，而球体的另一侧则会产生高压。向前运动的球在以顺时针方向旋转时，下侧由于迎着气流运动，受到的空气摩擦力会更大。这就得使足球下侧受到的压力比上侧更大，棒球在压力的作用下便会朝上偏。如果棒球以逆时针方向旋转，则相反。

正文

棒球在运动时由于投手会给其一个角速度，所以棒球的飞行距离能够更远，并且飞行轨迹会更难以捉摸。
跟上次的作业相同的是棒球在运动时会受到重力以及空气阻力，不同的是棒球由于存在角速度所以会额外多出一个Magnus力，如果用牛顿第二定律表述则可以写成下面这个方程：
$m{d^2\vec r\over dt^2}=m\vec g-B_2v^2\vec v_0-S_0\vec v\times \vec \omega$
书上已经给出了棒球的$B_2$值：
${B_2\over m}=0.0039+{0.0058\over {1+exp[{(v-v_d)/\Delta}]}}$

其中$v_d=35m/s$, $\Delta =5m/s$.
将力进行分解，可以得到x,y,z方向上的位移速度的关系式为：
${dx\over dt}=v_x$
$m{dv_x\over dt}=-B_2vv_x-S_0\omega v_z$
${dy\over dt}=v_y$
$m{dv_y\over dt}=-B_2vv_y$
${dz\over dt}=v_z$
$m{dv_z\over dt}=-mg-B_2vv_z+S_0v_x\omega$
再使用Euler法求近似解:
$x_{i+1}=v_{x,i}\Delta t+x_i$
$v_{x,i+1}=(-B_2vv_x-S_0\omega v_z)\Delta t/m+v_{x,i}$
$y_{i+1}=v_{y,i}\Delta t+y_i$
$v_{y,i+1}=-B_2vv_y\Delta t+v_{y,i}$
$z_{i+1}=v_{z,i}\Delta t+z_i$
$v_{z,i+1}=(-mg-B_2vv_z+S_0\omega v_x)\Delta t/m+v_{z,i}$
通过程序运行得到棒球在不同转速时的发型距离。
当球转速较快时，选取$v_0=45m/s$,$\omega _0=2000rpm$,仰角为0°,运行时间为10s，dt=0.01s，此时得到的图像为：

当转速较大时Magnus起很大作用，导致实际运动曲线向上偏移。

当球的转速，仰角，初速度以及dt都相同时，运行更长时间观察图像，选取运行时间为30s，此时的得的图像为：

当各条件相同时，运行更长的时间球甚至会开始向上运动。

当球的转速，初速度，运行时间以及dt都相同时，选取45°的仰角，此时得到的图像为：

在前期实际运动曲线要高于理论运动曲线，但是实际落点却比理论落点要近。

结论

当球转速较快时，Magnus力对球的运动有很大的影响，运行时间较长的情况下球甚至会向上飞；如果选择非平抛而是选择投掷的仰角为45°时球会飞的更高但是却不会飞得更远，所以在棒球运动中首先投掷速度和转速越高会使得球扔得更远，但是角度如果选的太高的话球反而会落在更近的地方。

致谢

感谢郭潇同学的代码，公式编辑以及计算物理课本所给出的公式