第十次作业

exercieses3.26

摘要

本文主要就Lorenz模型进行展示，通过给定不同的r以及初始条件得到混沌产生的条件。

背景

美国气象学家洛伦兹（E.N.Lorenz）是混沌理论的奠基者之一。20世纪50年代末到60年代初，他的主要工作目标是从理论上进行长期天气预报。他在使用计算机模拟天气时意外发现，对于天气系统，哪怕初始条件的微小改变也会显著影响运算结果。随后，他在同事工作的基础上化简了自己先前的模型，得到了有3个变量的一阶微分方程组，由它描述的运动中存在一个奇异吸引子，即洛伦兹吸引子。
洛伦兹的工作结果最初在1963年发表，论文题目为Deterministic Nonperiodic Flow，发表在Journal of the Atmospheric Sciences杂志上。如今，这一方程组已成为混沌理论的经典，也是“巴西蝴蝶扇动翅膀在美国引起德克萨斯的飓风”一说的肇始。它的形式看起来很简单：
${dx\over dt}=\sigma (y-x)$
${dy\over dt}=-xz+rz-y$
${dz\over dt}=xy-bz$

正文

在背景里已经介绍了Lorenz方程组，通过对方程组进行Euler近似写程序并且得到图像。
如图所示，在选取不同的r参数时可以发现当r=5和r=10时，图像最终会趋近于一定值，并没有产生混沌现象；但是当r=25时，图像没有趋近于一定值，此时出现了混沌现象。(初始参数为$\sigma =10$,x=1,y=z=0,dt=0.0001,b=8/3)

但是当r继续加大至一定值的时候又会发现混沌现象开始消失，如下图所示(初始参数为$\sigma =10$,x=1,y=z=0,dt=0.0001,b=8/3)：

当r=160时，图像已变得很有规律，此时混沌现象基本消失

当r=163.8时，图像相对还是较有规律，只是还夹杂着混沌现象的出现
选取r=25，其它参量不变，做出x，y，z的相空间图形：

• x-z如下所示：
  

• y-z如下所示：
  

从图上可以发现出现吸引子，此时有明显的混沌现象。
再对相空间的截面进行分析：

• x-z如下所示：
  
• y-z如下所示：
  
  两截面图像差别不大。

结论

产生混沌现象对r的取值有要求，当r大到一定值的时候混沌现象会消失，但是再加大时混沌现象又会出现。

致谢

感谢夏海峰同学的代码以及计算物理课本