第九次作业

exercises3.12

摘要

考虑非线性有耗散以及受到驱动力的摆所出现的混沌现象。

背景

混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
在之前的作业中讨论的是小角度情形下有阻尼力和驱动力的摆，而在大角度的情况下对之前的情况就得换一种计算方式。
在大角度的情况下$sin\theta$不能直接用$\theta$等价，所以此时单摆的运动方程变为：${d^2\theta \over dt^2}=-{g\over l}sin\theta -q{d\theta \over dt}+F_Dsin(\Omega _Dt)$
上式可以写为：
${d\omega \over dt}=-{g\over l}sin(\theta )-q{d\theta \over dt}+F_Dsin(\Omega _Dt)$
${d\theta \over dt}=\omega$
运用Euler-Cromer近似就可以得到：
$\omega _{i+1}=\omega _i-[{g\over l}sin\theta _i-q\omega _i+F_Dsin(\Omega _Dt_i)\Delta t$
$\theta _{i+1}=\theta _i+\omega _{i+1}\Delta t$
$t_{i+1}=t_i+\Delta t$
将t的取值范围限定在$[-\pi ,\pi ]$内。

正文

通过python画出不同F_D值时的$\omega -\theta$图像：

• 当参数为$\theta _0=0.2$,$t_0=0.0$,$\omega _0=0.0$,l=9.8,g=9.8,dt=0.04,t=60s，q=0.0时：
  
• 当参数为$\theta _0=0.2$,$t_0=0.0$,$\omega _0=0.0$,l=9.8,g=9.8,dt=0.04,t=60s，q=0.5时：
  
• 当参数为$\theta _0=0.2$,$t_0=0.0$,$\omega _0=0.0$,l=9.8,g=9.8,dt=0.04,t=60s，q=1.2时：
  

再选出$t\approx 2\pi n/\Omega _D$的点，这些点通过下面这条语句选出来
if i%1000==0:
self.theta1.append(self.theta[-1])
self.omg1.append(self.omg[-1])
图像为：

再选出$\omega \theta$不同相的点,当$\Omega _D t\approx 2\pi n+{\pi \over 4}$时，图像为：

结论

在非线性驱动力下可以产生混沌现象

致谢

感谢刘星辰同学的代码以及计算物理课本