第八次作业

exercises3.7

摘要

单摆的运动是很富有规律的，对单摆运动的研究所采用的近似方法不同时得到的图像也不一致。

背景

单摆的运动依旧满足牛顿第二定律，如果用角度作为其广义变量则可以得到其运动方程为：${d^2\theta \over dt^2}=-{g\over l}\theta$
该方程的解可以写成$\theta =\theta _0sin(\Omega t+\Phi)$，其中
其角速度与角度的关系为：$\Omega =\sqrt {g/l}$
${d\omega \over dt}=-{g\over l}\theta$
${d\theta \over dt}=\omega$
运用Euler法对上式求近似：
$\omega _{i+1}=\omega _i-{g\over l}\theta _i\Delta t$
$\theta _{i+1}=\theta _i+\omega _i\Delta t$
$t_{i+1}=t_i+\Delta t$
但是在运行中人们发现Euler方法在解决部分问题时会与实际结果拟合的比较好，但是在处理单摆问题时，一旦dt的值取得很大的话就会导致图像偏离理论值，所以在这时引进另一种近似，Euler-Cromer近似，对上式取近似：
$\omega _{i+1}=\omega _i-{g\over l}\theta _i\Delta t$
$\theta _{i+1}=\theta _i+\omega _{i+1}\Delta t$
$t_{i+1}=t_i+\Delta t$
以上两种取近似的方法的区别主要在于$\theta$的取值，Euler法计算时用的是$\omega_i$,而Euler-Cromer法计算时则是用的$\omega _{i+1}$,这样会使得后者在处理数据时会更稳定。

• dt=0.05s
  
• dt=0.01s
  
  从图像中也可以看出当dt取较大的值时Euler曲线已经严重偏离正弦曲线。

正文

根据在背景里面介绍的就可以大致知道应该怎么处理简单的单摆问题。
书上的第七题中角度满足的运动方程为：
${d^2\theta \over dt^2}=-{g\over l}\theta -q{d\theta \over dt}+F_Dsin(\Omega _Dt)$
在运算过程中只需要将
${d\omega \over dt}=-{g\over l}\theta$
换成
${d\omega \over dt}=-{g\over l}\theta -q\omega +F_Dsin(\Omega _Dt)$
就可以了。
通过运行程序得到图像，此处选用的$\Omega _D=2.0$,F=0.2,q=1.0：

结论

在dt较大时用Euler—Cromer近似会比用Euler近似准确很多。

致谢

在此感谢夏海峰同学的代码以及计算物理课本