computationalphysics

exercise09:lorenz_model and billiard_problem

abstract

• lorenz model
• billiard problem
• counting the lyapunov exponent for billiard problem

background

• physics equtional for lorenz model
  $$\frac{dx}{dt}=\delta(y-x) \\ \frac{dy}{dt}=-xz+rz-y \\ \frac{dz}{dt}=xy-bz\\ initial\space value：x=1,y=z=0\\ coefficients:\delta=10,b=\frac{8}{3}$$
• equations for billiard problem
  $$motion equations:\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\\ \frac{dx}{dt}=v_x, \frac{dy}{dt}=v_y\\ mirror\space like \space reflection:\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\space\\ \vec{v}_{i,\bot}=(\vec{v}_i\cdot \hat{n})\hat{n},\\ \vec{v}_{i,\rVert}=\vec{v}_i-\vec{v}_{i,\bot}\\ \vec{v}_{f,\bot}=-\vec{v}_{i,\bot}\\ \vec{v}_{f,\rVert}=\vec{v}_{i,\bot}$$
  这是一张计算边界反射草稿纸

main body

• lorenz model
  点我查看程序
  结果如下
  
  相空间图像如下：
  
  通过观察对比各个相空间的图像，发现在r=24附近开始发生混沌现象，于是将时间延长至t=120，作出r=24和24.1的z-t图如下：
  
  可以看出在r=24~24.1之间开始出现混沌
• billiard problem
  程序在此
  轨迹和相空间图像如下：
  
  除此之外，由于尚不明确的程序原因，在边界处理上的返回步长对结果有较大的影响，这一点可以通过对比不同dtt下相空间的图像看出（dtt表示写程序过程中用于确定边界的返回步长）：
  
  设想有2个小球，在初始位置相差$\Delta R=10^{-5}$的情况下，画出他们之间的距离关于时间的图像；对time<40s的图像进行线性拟合，计算不同$\delta$值对应的lyapunov常数：
  

conclusion

• 在$\delta=0$时，此程序表现得近乎完美；在$\delta$有一定值之后，所画出的图像与教材上的图略偏差，未进一步考察出现这种偏差的原因。

acknowledgement