行列式

数学

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二阶与三阶行列式

$$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$$
$a_{ij}$表示第i行，第j列的元素（元）。
二阶行列式可用于二元一次方程的求根。
三阶行列式在二阶的基础上采用二阶行列式的变化来进行计算。

$$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} &a_{13}\\ a_{21} & a_{22} &a_{23} \\ a_{31} & a_{32} &a_{33} \end{matrix} = a_{11}\begin{matrix} a_{22} &a_{23} \\ a_{32} &a_{33}\end{matrix} + a_{12}\begin{matrix} a_{23} &a_{21} \\ a_{33} &a_{31}\end{matrix}+a_{13}\begin{matrix} a_{21} &a_{22} \\ a_{31} &a_{32}\end{matrix}$$

全排列和对换

一、排列

$$P_n = n·(n-1)····3·2·1=n！$$
标准顺序：从大到小的顺序排列。
逆序数：非标准顺序的逆序总数。逆序数为奇数称为奇排列，偶数为偶排列。
公式：
$$t=\sum_{i=1}^{n}t_{i}$$
其中$t_i$表示比$P_i$大且排在$P_i$前的数的个数。

二、对换
定理1：一个排列中的任意两个元素对换，排列改换奇偶性。
推论：奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数。

$n$阶行列式

$$D=\sum \left ( 1 \right )^{t}a_{1p_{1}}a_{2p_{2}}···a_{np_{n}}$$
对于特殊的左下三角行列式/对角行列式：
$$D=a_{11}a_{22}···a_{nn}$$
而对于相应的右上三角行列式：
$$D_1=-D$$

行列式的性质

转置行列式：$a_{ij}$-->$a_{ji}$，$D^T$称为$D$的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。
行列式中行和列具有相同的地位，行列式的性质凡是对行成立的对列同样成立。

性质2 对换行列式的两行（列），行列式变号。
推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式等于零。

性质3 行列式中某一行（列）中所有元素都乘同一数k，等于用数k