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@bintou 2018-12-22T11:56:43.000000Z 字数 573 阅读 536

为什么这个证明是错误的?

线性代数


Trace是线性代数中一个重要概念。A是矩阵,,即矩阵对角线上元素的相加。Trace有一个奇妙的属性就是,其中 是矩阵A的特征值。如何证明?有一个很简洁的证明如下,可惜这个证明不对。大家能看出为什么吗?

其中 就是对A的对角化分解,是对角矩阵,其中元素就是特征值。第二个等号使用了Trace的一个性质:

蛮酷的,可惜,尽管酷,却是一个错误。

另一个证明

如果你们愿意,也许可以验证一下这个证明。

对任意矩阵存在非奇异矩阵使得,其中是Joardan正则型( Jordan canonical form)。应用得到,其中的特征值。

Jordan型(Jordan form)是上三角矩阵,因此它的特征值在对角线,所以,它的trace等于特征值之和。

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