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@bintou 2017-05-06T01:52:37.000000Z 字数 2035 阅读 1684

指数函数与欧拉公式

高等数学


数学的学习需要直观。比如我们应该问:到底指数函数是怎么想出来的?为什么会等于那么一大堆无穷的级数和?是偶然还是必然?是发明还是发现?

以下内容您只需要知道一些基本的高等数学的常识,比如,一阶导数。也就是说即使高数挂科者也可轻松阅读。

直接构造法

在没有这个函数之前,也许数学家是想找一个函数:它的一阶导数刚好是该函数本身。如果把一阶导数看为函数所表示曲线的加速度,那么就是说这条曲线的加速度函数就是自己本身。我尚不知道数学家们出于何种动机非要找这样的函数。只是可以猜想,或许欧拉等人很早就发现了这样的函数,比如:

(公式1)

对公式1做一阶求导,会发现:。求导之后,1没了,变成1, 变成......所以,这个就是我们想要的那个函数,将此函数命名为。并且我们知道

以上的表达是说,我们想要一个函数,刚好,很容易我们就发现了这个函数,Happy ending。如果数学家们满足于这个状况,也许下面这些内容就没有了。

多项式构造法

当然数学家们不仅仅满足于找到这么样一个函数。我们通过公式本身要问的是,是不是所有的曲线(函数)都可以表示成(多项式)的累加?是否所有的函数都会有这样的形状?

(公式2)

如果是,我们如何求出这些系数:?注意,此时假定我们知道这个函数的某种表达(不是上面这种形式),记为

现在需要一点高阶导数的内容,其实就是一阶导数不断做下去。思考这样的思路:如果在这个点上,,而且, ...,即的n阶导数等于的n阶导数,直到无穷,我们能说相同吗?似乎我们没有拒绝的理由。考虑一下函数,记住,的导数就是自己本身。

首先,注意到,在的情况下,无论多少次求导,都等于1!

然后,在的情况下,对不断求导得到的是:

, ......, (序列1)

现在要使得这一个数列的每一项都等于1,也就是说,要求:

把它们代入公式2,刚好得到公式1。注意,是因为要求在这个点上,

泰勒展式与欧拉公式

到底是那种情况下找到的?我猜是第一种比较直接的方式,后面是一种发现。而且后面这种发现只是欧拉公式的一个阶段性产品。当然,都是猜。因为,是欧拉等人熟知的,所以,有意思的是能否找到其他函数能表示成的累加。比如,这样的函数跟(多项式)有什么关系吗?

同样的方法,我们知道如何对函数求导,得到它在的数值,就得到这样的序列:

0, 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1,...... (序列2)

因为要求序列1与序列2相等,所以,

, , , , ......

很高兴地发现,偶数项全归0了,而奇数项一正一负地摇摆,其实这就得到了大家都很怕的那个所谓的"太乐"展式:

(公式3)

同样,也可以求得:

(公式4)

讲到这里,故事的高潮才逐步出现,以上内容其实都还比较简单。只有在这个神奇的数字引入之后,整个世界才开始奔放起来了。所谓,无非是说 。(很崇拜提出这个的人!)如果只是把i理解为一个数,实在没有道理不能把它带入到这个函数当中,是吗?现在,我们考虑

的展开式我们是知道的,难道不能照葫芦画瓢展开吗?

其实我没干太多事情,只是把带入到公式1当中,然后我们再把展开,因为我们知道,然后我们得到一系列数字,有正有负。关键还有一点,有些没有消掉,我们把不带的归一类,带(只能有一个哟!)的归一类看看:

(公式5)

把公式5与公式3和公式4对比一下,可知:

这就是著名的欧拉公式!Perfect~

能在张牙舞爪的数学公式与定理中发现直观,体会发现的乐趣,才能触摸数学入门的门道。

本文的内容归功于MIT的“微积分重点”公开课,本人做了一些简单的复述工作。建议大家看看这个公开课视频。

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