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@bintou 2022-07-15T03:45:54.000000Z 字数 2168 阅读 409

指数函数与欧拉公式

教学 高等数学


指数函数是指。到底这个函数是怎么想出来的?为什么会等于那么一大堆无穷的级数和?是偶然还是必然?是发明还是发现?

以下内容你只需要懂一阶导数,也就是说即使高数挂科者也可轻松阅读。

在没有这个函数之前,也许,数学家是想找一个函数,它的一阶导数刚好是函数本身。如果把一阶导数看为函数所表示曲线的加速度,那么就是说这条曲线的加速度函数就是自己本身。我尚不知道数学家们出于何种动机非要找这样的函数。我猜,欧拉等人很早就发现了这样的函数,比如:

(公式1)

稍微做一下求导,就发现,。对求导,没了,变成, 变成...... 所以,这个就是我们想要的那个函数,给一个名字,就叫。并且我们知道

似乎之前的表达是说,我们想要一个函数,刚好,很容易我们就发现了这个函数,happy ending。如果数学家们满足于这个状况,也许就不会出现下面这些内容了。

如果我们不仅仅满足于找到这么样一个函数,通过这个公式进一步问:是不是所有的曲线(函数)都可以表示成的累加()?即,是否所有的函数都会有这样的形状?
(公式2)

如果是,我们如何求出这些系数,?注意,此时我们可能知道这个函数的另一种表达方式(不是公式2那种),记为

现在我需要一点高阶导数的内容,其实就是一阶导数不断做下去。如果,在这个点上,,而且, , ...,即阶导数等于阶导数,直到无穷,我们能说相同吗?似乎我们没有拒绝的理由。考虑一下函数,记住,的导数就是自己本身。

的情况下,无论多少次求导,都等于

的情况下,对(公式2)不断求导得到的是:

(序列1)

现在要使得这一个数列都等于(因为此时都等于),且当时,,也就是说:

把它们代入公式2,刚好得到公式1。

到底是那种情况下找到的?我猜是第一种比较直接的方式,后面是一种发现。而且后面这种发现只是欧拉公式的一个阶段性产品。当然,都是猜。因为,是欧拉等人熟知的,所以,有意思的是能否找到其他函数能表示成的累加。比如,这样的函数跟有什么关系吗?

同样的方法,我们知道如何对函数求导,求得它在的数值,就得到这样的序列:
(序列2)
要求序列1与序列2相等,所以,

很高兴地发现,偶数项全归了,而奇数项一正一负地摇摆,其实就得到了大家都很怕的那个所谓的"太乐"展式:
(公式3)

同理,可以同样推理求得函数的表达为:
(公式4)

讲到这里,故事的高潮才逐步出现,以上内容其实都还比较简单。只是在这个神奇的数字引入之后,整个世界就开始奔放起来了。所谓,无非是说 。很崇拜提出这个的人!我们如果只是把理解为一个数,实在没有道理不能把它带入到这个函数当中,是吗?现在,我们考虑

的展开式我们是知道的,不能照葫芦画瓢吗?

其实我没干太多事情,只是把代入到公式1当中,然后我们再把展开,因为我们知道,然后我们得到一系列数字,有正有负。

关键还有一点,有些没有消掉,我们把不带的归一类,带(只能有一个i哟!)的归一类看看:
(公式5)
刚好它等于: ,与公式3和公式4对比一下即得。

这就是著名的欧拉公式!Perfect!

本文的内容归功于MIT的“微积分重点”公开课,我只是简单复述而已。

2022.07.15


P.S. 我花这些时间写这个主要是为了说明,这里写的比小强同学说的“欧拉公式可以这样解释: 把它看成沿时间轴(设描述时间)在复平面中做圆周运动呈螺旋向上的图形,投影在时间轴与实轴构成的平面上的图像为余弦波,投影在时间轴与虚轴构成的平面上的图像为正弦波。”要有趣很多。他只写了几行字,大家都看不懂,我写这么多,大家都懂了,相信还能背下来。哈哈,......开心!

P.P.S 这是好多年前写的博客(2014年QQ空间的也许都不是第一个版本),2022年再次编辑发出,其实娱乐的了我自己。也希望大家喜欢。

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