层次分析法

devilogic

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层次模型

对判断的一致性进行检验

每一层次的判断矩阵只是对上一层而言两两相比的重要性程度进行一致性检验，发现其前后逻辑是否存在偏误，这个偏误在严格意义上是否可以接受，因此需要在判断矩阵上进行进一步的运算。常用计算方法为方根法，具体计算步骤如下：
1. 首先计算出判断矩阵中每一行运算的乘积：

$$M_i = \sum^{n}_{j=1}b_{ij},(j=1,2,\ldots,n)$$

1. 然后计算$M_i$的$n$次方根,得到没有归一化的权重：
   

   $$\overline{\omega}_i = \sqrt[n]{M_i}$$

2. 对权重进行归一化处理，得到归一化的权重：
   

   $$\overline{\omega}_i = \frac{\overline{\omega}_i }{\sum^n_{j=1}\overline{\omega}_i}$$

3. 通过归一化的权重计算出判断矩阵的最大特征根：
   

   $$\lambda_{max} = \sum^n_{j=1}\lambda_j$$

4. 通过判断矩阵的最大特征根计算判断矩阵的一致性指标$CR$，并通过$CR$与$0.1$的比较来检验其一致性：
   $CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}$,$CR=\frac{CR}{CI}$,其中，当$CR=0$时，认为判断矩阵具有完全一致性，当$CR \le 0.1$时可以认为判断矩阵一致性可以接受，各个特征之间重要性比较中不存在明显的逻辑问题。若不满足当$CR \le 0.1$，就需要对判断矩阵进行调整，直到取得满意的一致性为止。

对所有指标进行层次总排序

对所有指标进行层次总排序是把每一层次的各个特征占该层次的权重乘以该层次本身占总层次的权重来计算出每一个特征占总层次的权重，然后按照各个因素的权重进行排序。

利用层次分析法确定各指标的权重

1. 与业内专家访谈基础上构建一级指标判断矩阵
   $$A = \begin{bmatrix}1\quad1\quad3\quad3\\1\quad1\quad3\quad3\\1/3\quad1/3\quad1\quad1/3\\1/3\quad1/3\quad3\quad1\end{bmatrix}$$

$$B_1 = \begin{bmatrix}1\quad1\quad3\quad1/3\\1\quad1\quad3\quad1/3\\1/3\quad1/3\quad1\quad1/5\\3\quad3\quad5\quad1\end{bmatrix}$$

$$B_2 = \begin{bmatrix}1\quad2\quad1\\1/2\quad1\quad1/3\\1\quad3\quad1\end{bmatrix}$$

$$B_3 = \begin{bmatrix}1\quad3\quad5\\1/3\quad1\quad3\\1/5\quad1/3\quad1\end{bmatrix}$$

$$B_4 = \begin{bmatrix}1\quad3\\1/3\quad1\end{bmatrix}$$

1. 确定权重以及一致性检验
   根据公式$M_i=\sum^n_{j=1}b_{ij},(j=1,2,\ldots,n)$计算一级指标判断矩阵中的每一行元素乘积，结果如下：
   $$M_1 = 9,M2=9,M3=0.037,M4=0.333$$
   然后，根据公式:$\overline{\omega}=\sqrt[n]{M_i}$计算$M_i$的$n$次方根，结果如下：
   $$\overline{\omega}_1 = 1.7321,\overline{\omega}_2 = 1.7321,\overline{\omega}_3 = 0.4387,\overline{\omega}_4 = 0.7598$$
   接着根据公式:$\omega_i=\frac{\overline{\omega}_i}{\sum^n_{j=1}\overline{\omega}_j}$对向量进行归一化处理：
   $$\sum^n_{j=1}\overline{\omega}_j=1.7321+1.7321+0.4387+0.7598=4.667$$
   接下来对该矩阵进行一致性验证：
   $$\lambda_i = (a_i,1 \times \omega_1 + a_i,2 \times \omega_2 + \ldots + a_i,n \times \omega_n)$$
   通过公式：$\lambda_{max}=\sum^n_{j=1}\lambda_j$计算判断矩阵的最大特征根：
   $$AW = (1.514,1.514,0.396,0.693)$$
   

   上述$AW$向量每一个值是一个$\lambda_i$

$$\lambda_{max}=\sum^n_{j=1}\lambda_j=4.134$$
最后根据公式$CI=\frac{\lambda_{max}-n}{n-1}$和$CR=\frac{CI}{RI}$计算判断矩阵的一致性指标：
$$CI = (4.134 - 4)/4-1=0.0447,CR = CI/RI = 0.0447/0.8931 = 0.050061 \le 0.1$$
因此一级指标的相应权重结果和如下表：

一级指标	B1	B2	B3	B4	权重	一致性检验
B1	1	1	3	3	0.37	$\lambda_{max}=4.13$
B2	1	1	3	3	0.37	$CI=0.045$
B3	1/3	1/3	1	1/3	0.09	$CR=0.050$
B4	1/3	1/3	3	1	0.16

运算

当我们要计算一个人的信贷分数时，只需要获取建模中的12个指标，随后依次计算