期末论文

计算物理

1.背景

客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小事物的几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。
客观事物都有它自己的特征尺度，要用恰当的尺度去测量。用尺子来测量万里长城，嫌太短，而用来测量大肠杆菌，又嫌太长。还有的事物没有特征尺度，就必须同时考虑从小到大的许许多多尺度（或者叫标度），这就是“无标度性”的问题。

2.分形几何中Python应用

分形几何学就是用来研究这样一类的几何形状的科学，借助计算机的高速计算和图像显示，使得我们可以更加深入地直观地观察分形几何。在文章中，我们用Python绘制一些经典的分形图案。

2.1.Mandelbrot(曼德布洛特)集合

曼德布洛特复数集合（Mandelbrotset，或译为曼德博集合）是一种在复平面上组成分形的点的集合。曼德布洛特集合可以用复二次多项式:f_c(z) = z^2 +c
来定义 其中c是一个复参数。对于每一个c，从开始对fc(z)进行迭代。序列 的值或者延伸到无限大，或者只停留在有限半径的圆盘内。曼德布洛特集合就是使以上序列不延伸至无限大的所有c点的集合。从数学上来讲，曼德布洛特集合是一个复数的集合。一个给定的复数c或者属于曼德布洛特集合M，或者不是。
用程序绘制Mandelbrot集合时不能进行无限次迭代，最简单的方法是使用逃逸时间(迭代次数)进行绘制，具体算法如下：
·判断每次调用函数fc(z) 得到的结果是否在半径R之内，即复数的模小于R
·记录下模大于R时的迭代次数
·迭代最多进行N次
·不同的迭代次数的点使用不同的颜色绘制

程序中的iter_point函数计算点c的逃逸时间，逃逸半径R为2.0，最大迭代次数为100。draw_mandelbrot函数绘制以点(cx, cy)为中心，边长为2*d的正方形区域内的Mandelbrot集合。

2.2迭代函数系统

迭代函数系统是一种用来创建分形图案的算法，它所创建的分形图永远是绝对自相似的。有下面4个线性函数将二维平面上的坐标进行线性映射变换：
1.
x(n+1）= 0
y(n+1) = 0.16 * y(n)

2.
x(n+1) = 0.2 * x(n) − 0.26 * y(n)
y(n+1) = 0.23 * x(n) + 0.22 * y(n) + 1.6

3.
x(n+1) = −0.15 * x(n) + 0.28 * y(n)
y(n+1) = 0.26 * x(n) + 0.24 * y(n) + 0.44

4.
x(n+1) = 0.85 * x(n) + 0.04 * y(n)
y(n+1) = −0.04 * x(n) + 0.85 * y(n) + 1.6
所谓迭代函数是指将函数的输出再次当作输入进行迭代计算，因此上面公式都是通过坐标 x(n),y(n)计算变换后的坐标x(n+1),y(n+1)。现在的问题是有4个迭代函数，迭代时选择哪个函数进行计算呢？我们为每个函数指定一个概率值，它们依次为1%, 7%,7%和85%。选择迭代函数时使用通过每个函数的概率随机选择一个函数进行迭代。上面的例子中，第四个函数被选择迭代的概率最高。最后我们从坐标原点(0,0)开始迭代，将每次迭代所得到的坐标绘制成图，就得到了叶子的分形图案。
观察右图的4种颜色的部分可以发现概率为1%的函数1所计算的是叶杆部分(深蓝色)，概率为7%的两个函数计算的是左右两片子叶，而概率为85%的函数计算的是整个叶子的迭代：即最下面的三种颜色的点通过此函数的迭代产生上面的所有的深红色的点。
我们可以看出整个叶子呈现出完美的自相似特性，任意取其中的一个子叶，将其旋转放大之后都和整个叶子相同

2.3L-System分形

前面所绘制的分形图案都是都是使用数学函数的迭代产生，而L-System分形则是采用符号的递归迭代产生。首先如下定义几个有含义的符号：
F : 向前走固定单位
+ : 正方向旋转固定单位
- : 负方向旋转固定单位
除了 F, +, - 之外我们再定义如下几个符号：
f : 向前走固定单位，为了定义不同的迭代公式
[ : 将当前的位置入堆栈
] : 从堆栈中读取坐标，修改当前位置
S : 初始迭代符号
所有的符号(包括上面未定义的)都可以用来定义迭代，通过引入两个方括号符号，使得我们能够描述分岔的图案。
例如下面的符号迭代能够绘制出一棵植物：
S -> X
X -> F-[[X]+X]+F[+FX]-X
F -> FF

2.4分形山脉

二维中点位移法画出山脉图

3.分形几何在物理中应用

(1)在分形凝聚中的应用 细微粒子如果形成像尘土一样的块体也会有分形构造
,比如悬浮于气体中的固体颗粒或液体颗粒的凝聚、电解液中金属的电沉积、准晶体的生产、流体在多孔介质中的渗透等。为了研究分形凝聚,人们提出的具有重分形的受限扩散凝聚(DLA)模型和动力学集团凝聚(KCA)模型。
(2)在固体物理中的应用 在一些非晶态固体中存在着分形结构,而分形结构上的自相似可造成反常运输
。准晶态的形态是受分形规律制约而均成为分维结,分形可用于准晶态的研究
。在固体扩散中,当非均匀介质的晶格为具有无标度性的分形晶格时,分形晶格的反常扩散可用谱维数加以描述。在固体的元激发中,分形晶格中元激发分形子态密度与谱维数有关。
等等。

4.结论

分形几何学作为当今世界十分风靡和活跃的新理论、新学科，它的出现，使人们重新审视这个世界：世界是非线性的，分形无处不在。分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义。

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