第八次作业课后题3.4

摘要

物理学中特定的重复运动质点，例如悬挂在弹簧上的质块的振动，即所谓简谐运动。许多日常现象都可以描述大量简谐振子的组合：乐器中振动着的弦和膜，构成晶体的粒子（原子、分子和离子）的振动，热的辐射和吸收。简谐振子的动能和势能持续地进行交替变换。。严格来说，生活中的振子受到线性回复力的同时还会受到摩擦力，这时由于摩擦力的作用，将机械能转化成内能，振子最终会停下。为不使其停下，须作用一驱动力在振子上，我们将对这种情形进行研究。严格来说，钟摆的运动过程中受到的回复力并非线性，而是与角成正弦关系，在此我们将进行研究。

背景

3.7Numerically investigate the linear, forced pendulum with friction of (3.14). Show numerically the existence of the resonance, and confirm the dependence of the resonant amplitude on the driving angular fequency , and on the friction parameter q.
3.8In the nonlinear pendulum of (3.17), use the Euler-Cromer or another suitable method to investigate the relationship between the amplitude and period numerically.Can you give an intuitive argument supporting your result?
定量研究（3.4）中的线性的有摩擦力的钟摆的受迫运动。定量分析共振的存在，并确定共振振幅与强迫力的角频率以及摩擦力系数q的关系。
在（3.17）中的非线性摆中，使用欧拉科隆方法或其它的合适的方法来定量研究振幅和周期的关系。你能给出一个直觉上的讨论来支持你的结果吗？
(3.14)$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin({\Omega}t)$
Euler-Crome方法处理：
$\omega_{i+1}=\omega_i-\frac{g}{l}\theta_i\Delta{t}-q\omega_i\Delta{t}+F_Dsin({\Omega}t_i)\Delta{t}$
$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta{t}$
If $\theta_{i+1}$ is out of range [-$\pi$,$\pi$], add or substract 2$\pi$ to keep it in this range.
$t_{i+1}=t_i+\Delta{t_i}$
(3.17)$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta$
Euler-Crome方法处理：
$\omega_{i+1}=\omega_i-\frac{g}{l}sin\theta_i\Delta{t}$
$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta{t}$
If $\theta_{i+1}$ is out of range [-$\pi$,$\pi$], add or substract 2$\pi$ to keep it in this range.
$t_{i+1}=t_i+\Delta{t_i}$

正文

3.7阻尼受迫线性摆
代码
图像

由图可以看出，阻尼受迫线性摆在经历一段无规则运动后达到稳定，变为周期性运动。
3.8非线性摆
代码
图像

对于线性单摆，周期不随振幅变化；而对于非线性单摆，振幅越大，周期越大。 直观来看，也是这样。角越大，与的差距也就越大，对于非线性单摆而言，回复力与线性回复力差距越来越大，周期相应增大.

总结

1.受迫阻尼振动稳定时仍为周期振动.
2.对于非线性单摆，振幅越大，周期越大。

致谢

参考了百度词条
吴雨桥同学的代码。