第九次作业课后题3.12

摘要

混沌，在中国古代神话故事里面是一种怪物，而在西方的《圣经》中作者试图以一种体系化的神学宇宙论阐明世界的发生过程，这个过程是，在非终极的意义上，上帝与原始混沌共同存在，然后在某一时刻，上帝决意创造我们当今的世界，于是上帝从混乱(disorder)中带来秩序(order)。不管原始“混沌”是否为上帝所造，"秩序”肯定为上帝所造，造物主常常也就是“秩序”的化身。“造物主的圣旨宣告之前，浑沌物质的精确状态到底怎样，不可能说清楚。但是，不久后上帝之灵掠过水面，一个美丽、有秩序的世界立即涌现出来。”
我们所研究的混沌显然更接近“上帝所谓的混沌”。

背景

3.12 In constructing the Poincare section in Figure 3.9 we plotted poits only at times that were in phase with the drive force; that is at times $t\approx{2 π n\over Ω_D}$, where n is an integar. At these values of t the driving force passed through zero[see 3.18]. However, we could just as easily have chosen to make the plot at times corresponding to a maximun of the drive force, or at times ${π\over 4}$ out-of-phase with this force,etc. Construct the Poincare sections for these cases and compare them with figure 3.9.

1904年，法国数学家亨利·庞加莱在提出了一个拓扑学的猜想：“任何一个单连通的，封闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”简单的说，一个封闭的三维流形就是一个没有边界的三维空间；单连通就是这个空间中每条封闭的曲线都可以连续的收缩成一点，或者说在一个封闭的三维空间,假如每条封闭的曲线都能收缩成一点,这个空间就一定是一个三维圆球。后来，这个猜想被推广至三维以上空间，被称为“高维庞加莱猜想”

混沌是指动力学系统对初值十分敏感而表现出的不可预测的，类似随机性的运动。虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。运动的可预测性是一个物理概念。一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。

正文

在阻尼受迫线性摆和非线性摆的运动中，当二者达到稳定时均为周期性的运动，二者的运动都是有规律可循的。但是当我们把二者结合在一起时，研究阻尼受迫的非线性摆时，就有可能出现混沌效应。
对于阻尼受迫的非线性摆： ${d^2θ\over dt^2}=-{g\over l}sinθ-q{dθ\over dt}+F_Dsin(Ωt)$
对于该微分方程，无法给出解析解。我们将使用Euler-Crome方法来给出数值解
一.驱动力幅值对该摆的影响
程序代码

从图中可以看出：
1.在不存在驱动力的情况下，振幅将逐渐降为0，振子最终停止振动；
2.驱动力较小时，振子最终作周期性振动。
3.驱动力较大时，振子将作无规则振动。
二.庞加莱截面
程序代码
外力相位为0时

外力相位为${π\over 4}$时

外力相位为${π\over 2}$时

随着相位从0到${π\over 4}$再到${π\over 2}$,奇异吸引子先向右上方、再向右下方运动。这表明随着相位的变化，奇异吸引子也相应的运动.

总结

1.对于阻尼受迫的非线性摆，驱动力较小时，振子最终作周期性振动。驱动力较大时，振子将作无规则振动。
2.对于庞德来截面，外力相位从0到${π\over 4}$再到${π\over 2}$,奇异吸引子先向右上方、再向右下方运动。表明随着相位的变化，奇异吸引子也相应的运动.

致谢

吴雨桥同学的代码。