第十二次作业

摘要

尽管太阳系中各个星球的运动已经被天文学家研究的比较透彻，我们仍然有一些有趣的问题值得探讨。例如由太阳系中的木星，地球，太阳构成的三体系统。还有土星卫星的混沌运动等等。通过对这些问题的探讨，我们可以加深对引力定律和开普勒定律的认识。
混沌是非线性系统普遍存在的一种现象。它具有对初始条件指数敏感依赖性并具有确定的随机性等特征。混沌研究渗透到各门学科，特别在天体力学中得到蓬勃发展。影响混沌研究的因素有数值方法和混沌识别指标。

背景

4.16 Carry out a true three-body simulation in which the motions of Earth, Jupiter, and the Sun are all caculated. Since all three bodies are now in motion, it is useful to take the center of mass of the three-body system as the origin, rather than the position of Sun. We also suggest that you give Sun an initial velocity which makes the total momentum of the system exactly zero (so that the center of the mass will remain fixed). Study the motion of Earth with different initial conditions. Also, try increasing the mass of Jupiter to 10, 100 and 1000 times its true mass.
其中木星对地球的作用力：
${F_{EJ,x}}=-{GM_JM_E\over r^2_{EJ}}cos\theta_{EJ}=-{GM_JM_E(x_e-x_j)\over r^3_{EJ}}$
${F_{EJ,y}}=-{GM_JM_E\over r^2_{EJ}}sin\theta_{EJ}=-{GM_JM_E(y_e-y_j)\over r^3_{EJ}}$
地球的速度为：
${dv_{x,e}\over dt}=-{GM_Sx_e\over r^3}-{GM_J(x_e-x_j)\over r^3_{EJ}}$
${dv_{y,e}\over dt}=-{GM_Sy_e\over r^3}-{GM_J(y_e-y_j)\over r^3_{EJ}}$

正文

程序代码
真实的太阳地球木星三星系统

木星质量增加到原来的10倍

木星质量增加到原来的100倍

木星质量增加到原来的1000倍

总结

在太阳、地球和木星的三星系统中，之所以这个三体系统没有表现明显的混沌现象，是因为其中地球的质量太小了，对太阳和木星的影响只能算作围绕。这个系统的实质是太阳和木星组成的两体系统。地球只是相当于一个“试探质点”的角色。但是当木星质量变为真实值的一百倍时太阳有了明显的运动，但继续增大木星质量时就会有混沌出现。

致谢

吴雨桥同学的代码