计算物理第八次作业

作者：夏海峰 学号：2013301020094

摘要

本文主要研究了单摆的运动。并比较不同算法对单摆模拟计算的精确度的影响。

理论基础：

• 受力情况：
  $$F_{\theta}=-mg\sin(\theta)$$
• 运动学方程：
  $$\frac {d^2\theta}{dt^2}=-\frac {l}{g}\theta$$
  解析解：
  $$\theta =\theta_0 \sin(\Omega t+\phi)$$
• $$\frac {d\omega}{dt}=-\frac {l}{g}\theta$$
  $$\frac {d\theta}{dt}=\omega$$
• 有此引出数值计算方法：
  Euler方法：
  $$\omega_{i+1}=\omega_i-\left[(g/l) \sin \theta_i-q\omega_i+F_D\sin(\Omega_Dt) \right]$$
  $$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t$$
  $$t_{i+1}=t_i+\Delta t$$
• 由以上两式可得出Euler-Cromer方法的具体数值计算方法：
  $$\omega_{i+1}=\omega_i-\left[(g/l) \sin \theta_i-q\omega_i+F_D\sin(\Omega_Dt) \right]$$
  $$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i}\Delta t$$
  $$t_{i+1}=t_i+\Delta t$$
  (1)作业3.7 和3.8题
  (2)对Euler法和Euler——Cromer法的比较

正文

• Euler和Euler-Cromer法的比较
  程序
  当dt=0.01时
  
  当dt=0.05时
  
  比较以上两图可知：
  （1）Euler-Cromer法比Euler法计算的到的解更稳定。
  （2）Euler法解的稳定性取决于时间间隔dt的选取。
• 3.7 Numerically investigate the linear forced pendulum with friction of(1)．Show numerically the existence Of the resonance, and confirm t he dependence of the resonant amplitude on the driving angular frequency ，and on the friction parameter q.
  $$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_D)—————————(1)$$
  （1）计算方法
  Euler法：
  $$\omega_{i+1}=\omega_i-(g/l)\theta \Delta t$$
  $$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega _{i} \Delta t$$
  $$t_{i+1}=t_i+\Delta t$$
  程序：Pendulum_Euler.py
  Euler-Cromer法
  $$\omega_{i+1}=\omega_i-(g/l)\theta \Delta t$$
  $$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega _{i+1} \Delta t$$
  $$t_{i+1}=t_i+\Delta t$$
  程序：Pendulum_Euler_Cromer.py
• 计算结果：
  
• 3.8 In the nonlinear pendulum of (2),use the Euler-Cromer or another suitable method to investigate the relationship between the arnplitude and period nurmerically. Can you give an intllltlve argument supporting your results ?
  $$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin(\theta)——————(2)$$
  程序
  计算结果如图所示：
  

结论

（1）Euler—Cromer方法比Euler方法更加稳定。
（2）单摆运动的振幅变化符合三角函数变化规律。