第七次作业

---

摘要：

本次作业为书上2.19题，以棒球为粒，建立数值模型，棒球在高速运动时，空气拖拽系数将严重影响棒球的运动。并且由于棒球的旋转将使球体受到Magnus力。本题中通过欧拉法给出差分方程，求出棒球在有阻力和无阻力下飞行轨迹。
原理
棒球在运动中受力为

$$\begin{cases} 空气阻力：-B_2v^2\vec {v^0}\\ 重力：m\vec g\\ Magnus:S_0\vec v\times\vec \omega \end{cases}$$
运动轨迹差分方程可表示如下:
$$\begin{cases} x_{i+1}=v_{x,i}\Delta t+x_i\\ y_{i+1}=v_{y,i}\Delta t+y_i\\ z_{i+1}=v_{z,i}\Delta t+z_i\\ v_{x,i+1}=(-\frac{B_2}{m}vv_x+\frac{S_0}{m}v_y\omega _z)\Delta t+x_{x,i}\\ v_{y,i+1}=(-g-\frac{B_2}{m}vv_y+\frac{S_0}{m}v_z\omega _x)\Delta t+x_{y,i}\\ v_{z,i+1}=\frac{S_0}{m}v_x\omega _y\Delta t+v_{z,i} \end{cases}$$
通过欧拉法，选取合适的时间间隔，逐点取值，便可以近似得到较准确的运动轨迹。
正文：

在考虑空气阻力、重力、Magnus情况下，选取初速度和初始位置为：
$(v_x,v_y,v_z)=(50m/s,50m/s,0),(x,y,z)=(0,0,0)$
选取$(\omega _x,\omega _y,\omega_z)$分别为

$$\begin{cases} (0,0,-2000)\\ (0,0,-1000)\\ (0,0,209)\\ (0,0,2000)\\ (0,0,20000)\\ \end{cases}$$
棒球轨迹受到显著影响。
取$(\omega _x,\omega _y,\omega_z)$=$(0,0,-2000)$轨迹显示棒球逐渐向左运动，达到临界值再返回.

第七次作业程序1
比较无空气阻力和有阻力的情况下：

第七次作业程序2
结论：

当球的转速较大的时候，Magnus力起到作用，使得其轨迹发生明显改变，适当的选取Magnus力，可以获得不同旋转程度即各种不同运动方向的棒球运动轨迹。
空气阻力和Magnus力的作用下棒球轨迹变化，射程减短。
致谢：

感谢张爽同学提供的程序参考！