@hdwhu 2016-06-11T13:44:12.000000Z 字数 1389 阅读 691

第十二次作业

摘要

本次作业完成第12次作业-chapter4_problem4.16，讨论了太阳、木星和地球三体系统在木星质量变化时的轨道情况。用vPython对系统轨道进行了展示。
背景介绍

在天体运动中，当行星质量不远小于中心天体质量时，中心天体不再能够近似为相对体系质心静止的状态，若此时体系只有两个天体，则形成双星系统。在太阳系中，可将太阳和木星视作双星系统，地球在这个系统中运动，这便形成了一个简单的三体系统。当木星质量接近太阳时，地球的运动轨迹将发生显著变化。

正文

实现原理
天体的运动方程

令G=1，由Euler-Cromer法有太阳的运动方程为
$\vec a_{S,i+1}=\frac{m_J}{d^2_{SJ,i}}\frac{\vec r_{J,i}-\vec r_{S,i}}{\vert {\vec r_{J,i}-\vec r_{S,i}}\vert }$
$\vec a_{J,i+1}=\frac{m_S}{d^2_{SJ,i}}\frac{\vec r_{S,i}-\vec r_{J,i}}{\vert {\vec r_{S,i}-\vec r_{J,i}}\vert }$
$\vec a_{E,i+1}=\frac{m_J}{d^2_{EJ,i}}\frac{\vec r_{E,i}-\vec r_{J,i}}{\vert {\vec r_{E,i}-\vec r_{J,i}}\vert }+\frac{m_S}{d^2_{ES,i}}\frac{\vec r_{E,i}-\vec r_{S,i}}{\vert {\vec r_{W,i}-\vec r_{S,i}}\vert }$
$\vec v_{(S,J,E),i+1}=\vec v_{(S,J,E),i}+\vec a_{(S,J,E),i+1}\Delta t$
$\vec r_{(S,J,E),i+1}=\vec r_{(S,J,E),i}+\vec v_{(S,J,E),i+1}\Delta t$
其中 $m_S$ 为太阳质量， $m_J$ 为木星质量， $d_{SJ}$ 、 $d_{SE}$ 、 $d_{JE}$ 分别为太阳到木星、太阳到地球、木星到地球的距离。
初速度设置

若要使运动轨道为圆轨道，则应满足 $F_{引力}=f_{向心力}$ ，对太阳和木星有
$\frac{Gm_Sm_J}{d^2_{SJ}}=m_{S,J}\frac{v^2_{S,J}}{r^1_{S,J}}$
又有 $r^1_{S,J}=\frac{m_{S,J}}{m_S+m_J}d_{SJ}$
令 $\frac{m_S}{m_J}=k$
有 $\vert {v_{0,S}}\vert =\sqrt{\frac{m_J}{(1+k)d_{SJ}}},\vert {v_{0,J}}\vert =\sqrt{\frac{k^2m_J}{(1+k)d_{SJ}}}$
地球的初速度和初始位置通过对实际太阳系等比例缩放即可得到。
第十二次作业程序
结果分析
当木星质量为实际质量时，几乎看不到地球轨道的扰动

当木星质量增加到10倍时，可以发现地球轨道发生较小的偏扰

当木星质量增加到100倍时，地球轨道发生较大偏差

当木星质量等于太阳质量时，地球成为双星系统中近邻天体的卫星

当木星质量为太阳两倍时，出现混沌