第十一次作业

摘要

本次作业完成第11次作业-chapter4_problem4.7，讨论了双星系统在不同质量比的情况下运动轨道的变化。

背景介绍

在天体运动中，当行星质量不远小于中心天体质量时，中心天体不再能够近似为相对体系质心静止的状态，若此时体系只有两个天体，则形成双星系统。
正文
实现原理
天体的运动方程

令$G=1$，由Euler-Cromer法有

$$\begin{cases} \vec a_{sun,i+1}=\frac{m}{d^2_i}\frac{\vec r_{earth,i}-\vec r_{sun,i}}{\vert {\vec r_{earth,i}-\vec r_{sun,i}}}\\ \vec v_{sun,i+1}=\vec a_{sun,i}+\vec a_{sun,i+1}\Delta t\\ \vec r_{sun,i+1}=\vec r_{sun,i}+\vec v_{sun,i+1}\Delta t \end{cases}$$
其中m为地球质量，d为距离。同理可得到地球的运动方程
初速度设置

若要使运动轨道为圆轨道， 则应满足$F_{引力}=f_{向心力}$,对太阳有
$\frac{GMm}{d^2}=M\frac{v^2_{sun}}{r^1_{sun}}$
对地球有
$\frac{GMm}{d^2}=M\frac{v^2_{earth}}{r^1_{earth}}$
又有
$r^1_{sun}=\frac{m}{m+M}d,r^1_{earth}=\frac{M}{m+M}d$
令$\frac{M}{m}=k$
有$v_{0,sun}=\sqrt {\frac{m}{(1+k)d}},v_{0,earth}=\sqrt {\frac{k^2m}{(1+k)d}}$
当机械能大于等于零，即$E_k+E_p\ge 0$
有$\frac{Mv^2_{sun}}{2}+\frac{mv^2_{earth}}{2}\ge \frac{GMm}{d}$
可得$kv^2_{sun}+v^2_{sun}\ge \frac{2km}{d}$
其他情况为椭圆轨道。
结果分析
当k=1时，即M=m时，两天体于同一轨道运动

当k=2时，即M=2m时，质量大的天体轨道半径为小的1/2

当k=4时，即M=4m时，质量大的天体轨道半径为小的1/4

当k=16时，即M=16m时，质量大的天体轨道半径为小的1/16

当k=1024时，即M=1024m时，质量大的天体几乎处于静止状态

改变初始速度大小后，可见轨道变为椭圆，它们具有一个相同的焦点

实际上，当它们依椭圆轨道运行时，系统总动量不为0，实际的运动轨迹如下图

第十一次作业程序

结论

双星系统中，天体相对一个共同的焦点做椭圆运动，其半长轴之比即为质量之比的倒数。
致谢
感谢刘文涛同学提供的程序参考！