期末作业

用python探究行星运动问题

霍达 2013301020089 物基二班
摘要：本文探究了有关行星运动的一些问题。使用Euler-Cromer方法和python语言对双星模型和三体模型进行分析，通过改变初始速度大小与方向来探究行星运动轨道的变化，同时改变行星质量来探究系统何时趋于混沌。
关键词： 开普勒定律 平方反比定律 双星系统 三体系统 Euler-Cromer方法 python
介绍
行星运动，顾名思义就是有关宇宙中的天体——行星的运动。行星行星通常指自身不发光，环绕着恒星的天体。太阳系中共有八大行星：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星和海王星。每个行星都有其各自的轨道，但不同的行星之间往往会组成不同的系统，因此行星轨道也各不相同，本文使用Euler-Cromer方法对行星之间组成的双星模型与三体模型轨道进行研究。
正文
基本原理
开普勒定律
说到行星运动，就不能不提开普勒定律，这也是我们进行行星运动研究的基石。
①开普勒第一定律：椭圆定律：所有行星绕太阳的轨道都是椭圆，太阳在椭圆的一个焦点上。
②开普勒第二定律：面积定律：行星和太阳的连线在相等的时间间隔内扫过相等的面积。
③开普勒第三定律：调和定律：所有行星绕太阳一周的恒星时间的平方与它们轨道半长轴的立方成比例。
对于太阳系中的行星来说，由万有引力定律和牛顿第二定律可得：
$F_G=\frac{GM_SM_E}{r^2}$
$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{F_{G,x}}{M_E}=-\frac{GM_SM_Ex}{r^3}$
$\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{F_{G,y}}{M_E}=-\frac{GM_SM_Ey}{r^3}$
$\frac{dv_x}{dt}=-\frac{GM_Sx}{r^3}$
$\frac{dv_y}{dt}=-\frac{GM_Sy}{r^3}$
令G=1，由Euler-Cromer方法得
$\vec a_{S,i+1}=\frac{m}{d^2_i}\frac{\vec r_{E,i}-\vec r_{S,i}}{\vert {\vec r_{E,i}-\vec r_{S,i}}\vert }$
$\vec v_{S,i+1}=\vec v_{S,i}+\vec a_{S,i+1}\Delta t$
$\vec r_{S,i+1}=\vec r_{S,i}+\vec v_{S,i+1}\Delta t$
m为地球质量，d为距离。
为简单起见，认为太阳是静止不动的。通过查询资料可得行星的轨道半径与公转周期，并将国际单位转化为天文单位可得

开普勒定律程序
从内到外分别为太阳，水星，金星，地球火星，木星。
行星轨道与初速度的关系
①行星轨道随初速度大小的变化
初速度大小程序
令地球初速度大小分别为1.5π，2π，2.5π，方向垂直于地球与太阳的连线。

可以看出，当初速度大小为2π时，地球恰好做圆周运动。当初速度大小不是2π时，地球做椭圆运动，符合开普勒第一定律，随着速度增大，椭圆轨道长轴也增大。
②行星轨道随初速度方向的变化
初速度方向程序
令地球初速度大小为2π，方向与地球和太阳连线的夹角分别为45°，90°，135°。

可以看出，当夹角为90°时，地球做圆周运动，夹角不是90°时做椭圆运动，并且角度会改变椭圆轨道的长轴方向和离心率。
双星系统
双星系统是指由两颗恒星组成，相对于其他恒星来说，位置看起来非常靠近的天体系统。
为了使轨道简明，保持系统动量恒定，令$m_1v_1+m_2v_2=0$
由上面可知行星轨道与初速度有关系。由于实际行星轨道多是椭圆，因此我们来考虑椭圆轨道情况。
在双星系统中，行星轨道情况与行星质量有关，我们通过改变两个行星质量比来探究其轨道变化情况。
双星系统程序
①$m_1:m_2=1:1$

②$m_1:m_2=2:1$

③$m_1:m_2=5:3$

④$m_1:m_2=1:30$

⑤$m_1:m_2=1:100$,即$m_2>>m_1$

这种情况中轨道为一条直线是因为为了保持动量恒定，y方向上速度远大于x方向上速度。
三体系统
说道三体，大多数人都会联系到《三体》这本书，这本书的主角之一就是在三颗无规则运行的太阳主导下的“三体文明”，而其主题就是天体力学中的三体问题：它是指三个质量、初始位置和初始速度都是任意的可视为质点的天体，在相互之间万有引力的作用下的运动规律问题。正是由于三颗太阳位置的变化使得“三体文明”趋于毁灭。
由资料可得在一般三体问题中，每一个天体在其他两个天体的万有引力作用下的运动方程都可以表示成3个二阶的常微分方程，或6个一阶的常微分方程。因此，一般三体问题的运动方程为十八阶方程，必须得到18个积分才能得到完全解。然而，还只能得到三体问题的16个积分，因此还远不能解决三体问题。而且三体系统是一个混沌系统，其运动轨道很难预测，因此我在这里只是简要讨论一下三体系统。
选取太阳系中的太阳-地球-木星三体系统作为例子来研究。
由资料可得$m_S:m_J:m_E=330000:330:1$,同双星系统，系统总动量为零。通过改变某一恒星的质量来研究其轨道的变化。
三体系统程序
1.正常情况下

2.当木星质量增加到10倍时
地球受到了一定扰动，但基本轨道不变
3.当木星质量增加到100倍时
太阳有了明显运动，地球围绕太阳运动。
4.当木星质量增加到与太阳相同时
引力无法束缚住太阳和木星，它们相互远离。由于地球一开始与太阳距离更近，在之后地球跟随着太阳运动。
5.当地球质量也等于太阳质量，即三个太阳系统（三体文明）中
出现了混沌现象。
结论
①开普勒定律是恒星运动的基本定律。
②双星系统中在不同的初始条件下，我们可以看出双星运动的轨迹完全不同。在一定条件下(初始速度为2π，速度方向与地日连线夹角为90°)可以形成圆形，在另一条件下，轨迹是椭圆，单都可以稳定的运行下来，稳定性较好。
③三体问题是一个不可解问题，其运动状态是混沌的，行星运行轨道与行星质量有关，在日-地-木三体系统中，当木星和地球质量足够大(趋向太阳)时，系统将趋于混沌。
参考文献
[1] 计算物理；Nicholas J. Giordano, Hisao Nakanishi.