第八次作业

姓名：周辉
班级：天眷班
学号：2013301020171

摘要

当一个物体受到线性回复力时，物体将会作周期性的往返运动，称为简谐运动，该物体被称为简谐振子。简谐振子是物理学中一个十分重要的模型，研究它的运动将帮助我们了解生活中的一些现象，像钟摆，秋千之类。严格来说，生活中的振子受到线性回复力的同时还会受到摩擦力，这时由于摩擦力的作用，将机械能转化成内能，振子最终会停下。为不使其停下，须作用一驱动力在振子上，我们将对这种情形进行研究。
严格来说，钟摆的运动过程中受到的回复力并非线性，而是与$\theta$角成正弦关系，在此我们将进行研究。

背景

3.7Numerically investigate the linear, forced pendulum with friction of (3.14). Show numerically the existence of the resonance, and confirm the dependence of the resonant amplitude on the driving angular fequency $\Omega_D$, and on the friction parameter q.
3.8In the nonlinear pendulum of (3.17), use the Euler-Cromer or another suitable method to investigate the relationship between the amplitude and period numerically.Can you give an intuitive argument supporting your result?
定量研究（3.4）中的线性的有摩擦力的钟摆的受迫运动。定量分析共振的存在，并确定共振振幅与强迫力的角频率$\Omega_D$以及摩擦力系数q的关系。
在（3.17）中的非线性摆中，使用欧拉科隆方法或其它的合适的方法来定量研究振幅和周期的关系。你能给出一个直觉上的讨论来支持你的结果吗？
(3.14)$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin({\Omega}t)$
该运动方程的解析解：
$\theta=\theta_0sin(\Omega_Dt+\phi_1)+\theta_1e^{-\frac{1}{2}qt}sin(\sqrt{\frac{g}{l}-\frac{1}{4}q^2}t+\phi_2)$
当其达到稳定时，上式第二项衰减为0，则：
$\theta=\theta_0sin(\Omega_Dt+\phi_1)$
受迫振动的频率与驱动力频率相同，为$\Omega_D$，且稳定时的受迫振动仍为简谐振动.
将$\theta=\theta_0sin(\Omega_Dt+\phi_1)$代入（3.14）式，得：
$\theta_0=\frac{F_D}{\sqrt{(\frac{g}{l}-\Omega_D^2)^2+q^2{\Omega_D}^2}}$
令$\frac{d\theta_0}{d\Omega_D}=0$, $\Omega_D=\sqrt{\frac{g}{l}-\frac{1}{2}q^2}$
此时，受迫振动的振幅最大，达到共振。
$\theta_{0_{max}}=\frac{F_D}{q\sqrt{\frac{g}{l}-\frac{1}{2}q^2}}$
当q趋于0时，$\Omega_D$趋于$\Omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$,（即振子的频率），
$\theta_{0_{max}}$趋于无穷大。
(3.17)$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta$
对于简谐振子$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}\theta$
其通解为：$\theta={\theta}_0sin(\sqrt{\frac{g}{l}}t+\phi)$,有解析解。
可以将二者作比较。

正文

3.7受迫阻尼摆
代码
$\theta$随t变化图
$\Omega=1$

$\Omega=2.5$

$\Omega=3$

$\Omega=3.5$

在$\Omega=3$左右，$\theta_0$取到最大值，与理论值3.13接近，很好地验证了理论。
3.8非线性单摆
代码
周期与振幅的关系

对于线性单摆，周期不随振幅变化；而对于非线性单摆，振幅越大，周期越大。
直观来看，也是这样。$\theta$角越大，$sin\theta与\theta的差距也就越大$ ，对于非线性单摆而言，回复力与线性回复力差距越来越大，周期相应增大。

总结

1.受迫振动的频率与驱动力频率相同，为$\Omega_D$，且稳定时的受迫振动仍为简谐振动.
2.$\Omega_D=\sqrt{\frac{g}{l}-\frac{1}{2}q^2}$时，受迫振动的振幅最大，达到共振。
3.对于非线性单摆，振幅越大，周期越大。

致谢

参考文献：
许定安,丁棣华,王波.《经典力学》.武汉大学出版社.
感谢吴雨桥同学的代码。