第十一次作业

姓名：周辉
班级：天眷班
学号：2013301020171

摘要

很久以前，人类便开始研究太空中的星系。第谷毕生都在观察记录天体的运动轨迹。开普勒在第谷的数据基础上总结出了开普勒三定律，很简洁的描述了天体的运动规律。然而，这仅仅是从运动学的角度描述天体。真正解释天体运动成因的是万有引力定律和牛顿三定律。本次作业我们将研究天体运动中两体运动，当两物体的质量相差不大时，两物体的运动规律。

背景

4.7 Consider a hypothetical solar system consisting of a sun and one planet in which the mass of the sun is not much greater than the mass of the planet. Now you must allow for the motion of both the planet and the sun. Extend your planetary motion program to include this effect. You will have to deal with a set of equations such as those in （4.7） for both objects. Investigate the possible types of orbital motion found in such a system. Begin with a double star system in which the two objects are of equal mass. Then explore the behavior when the masses are unequal.
天体的运动过程受到万有引力，遵循牛顿第二定律。当二者的质量相差很大时，（即忽略小天体对大天体的作用力对大天体的运动的影响）受下述方程约束：
$\frac{dv_x}{dt}=-\frac{GM_sx}{r^3}$
$\frac{dx}{dt}=v_x$
$\frac{dv_y}{dt}=-\frac{GM_sy}{r^3}$
$\frac{dy}{dt}=v_y$
对于天体运动，其总能量是一个恒定值，为不使计算过程导致其能量发散，须采用Euler-Cromer的方法计算，而不能采用Euler方法来处理。Euler-Cromer的方法的处理如下：
$v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{4\pi^2x_i}{r_i^3}\Delta{t}$
$x_{i+1}=x_{i}+v_{x_i,i+1}\Delta{t}$
$v_{y,i+1}=v_{y,i}-\frac{4\pi^2y_i}{r_i^3}\Delta{t}$
$y_{i+1}=y_{i}+v_{y_i,i+1}\Delta{t}$
$r_i=({x_i}^2+{y_i}^2)^\frac{1}{2}$
$t_{i+1}=t_{i}+\Delta{t}$
本题是对两体问题的研究。

正文

In order to obtain the simplest orbits, it is best to pick initial conditions such that the total linear momentum is zero. While this problem can be handled with a stationary sun together with the concept of a reduced mass.
我们将在两天体的质心系来研究该问题（系统的总动量为0），可以使问题变得简单。
代码
$M_S=M_E$

$M_S=2M_E$

$M_S=5M_E$

$M_S=10M_E$

发现质量小的行星运动的范围大，且质量差变大时行星的运动范围显著增大。当增大二者的质量差到10倍时，两星体最终作直线运动，画出的图像异常。

总结

1.两体问题中，质量小的行星运动的范围大，且质量差变大时行星的运动范围显著增大。
2.两体问题不会出现混沌效应。

致谢

感谢吴雨桥同学的模板。