第九次作业

姓名：周辉
班级：天眷班
学号：2013301020171

摘要

中国神话中的混沌，形如巨大的狗。

混沌是指动力学系统对初值十分敏感而表现出的不可预测的，类似随机性的运动。虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。运动的可预测性是一个物理概念。一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。

背景

3.12 In constructing the Poincare section in Figure 3.9 we plotted poits only at times that were in phase with the drive force; that is at times $t\approx\frac{2\pi{n}}{\Omega_D}$, where n is an integar. At these values of t the driving force passed through zero[see 3.18]. However, we could just as easily have chosen to make the plot at times corresponding to a maximun of the drive force, or at times $\frac{\pi}{4}$ out-of-phase with this force,etc. Construct the Poincare sections for these cases and compare them with figure 3.9.
在第八次作业中我们研究了阻尼受迫线性摆和非线性摆的运动，二者达到稳定时均为周期性的运动，二者的运动都是有规律可循的。然而当我们把二者结合在一起时，研究阻尼受迫的非线性摆时，就有可能出现混沌效应。
对于阻尼受迫的非线性摆：$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin({\Omega}t)$
对于该微分方程，无法给出解析解。我们将使用Euler-Crome方法来给出数值解。

正文

1.驱动力幅值对该摆的影响
代码
图像

从图中可以看出：
1.不存在驱动力时，振幅将逐渐降为0，振子最终静止；
2.驱动力较小时，振子最终作周期性振动。
3.驱动力较大时，振子将作无规则振动。
2.庞加莱截面
代码
外力相位为0

外力相位为$\frac{\pi}{2}$

外力相位为$\frac{\pi}{4}$

这里明显随着相位从0到$\pi/4$再到$\pi/2$,奇异吸引子先向右上方、再向右下方运动。这表明随着相位的变化，奇异吸引子也相应的运动.

总结

1.对于阻尼受迫的非线性摆，驱动力较小时，振子最终作周期性振动。驱动力较大时，振子将作无规则振动。
2.对于庞德来截面，外力相位从0到$\pi/4$再到$\pi/2$,奇异吸引子先向右上方、再向右下方运动。这表明随着相位的变化，奇异吸引子也相应的运动.

致谢

参考百度百科混沌词条
感谢吴雨桥同学提供的代码模板