第十三次作业

姓名：周辉
班级：天眷班
学号：2013301020171

摘要

电容器是一种基本的电学元件，可用于储存电量。电容器的电势分布与电场分布是我们要研究的一个基本问题。我们知道在没有电荷的地方，空间的电势遵循Laplace方程。而Laplace方程是一个偏微分方程，本章我们将学习如何求解这类问题。

背景

5.3 Use the symmetry of the capacitor problem (Figure 5.6) to write a program that solves for V by calculating the potential in only one quadrant of x-y plane.

正文

在没有电荷的地方，空间的电势遵循Laplace方程：
$\frac{\partial^2V}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2V}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2V}{\partial{z^2}}=0$
再加上边界条件，我们就可以尝试性地来求解电势V.
"$\frac{\partial^2V}{\partial{x^2}}+\frac{\partial^2V}{\partial{y^2}}+\frac{\partial^2V}{\partial{z^2}}=0$" is a partial differential equations. Most ordinary differential equations can be dealt with using methods such as Euler or Runge-Kutta approches. But they can not solve PDEs.There is a method to solve the PDEs called the relaxation method. I will show it below.
$\frac{\partial V}{\partial x}\approx\frac{V(i+1,j,k)-V(i,j,k)}{\Delta{x}}$ (1)
$\frac{\partial^2V}{\partial{x^2}}\approx\frac{1}{\Delta{x}}[\frac{\partial V}{\partial x}(i+1/2)-\frac{\partial V}{\partial x}(i-1/2)]$(2)
将（1）式做变换后代入（2）式，得：
$\frac{\partial^2V}{\partial{x^2}}\approx\frac{1}{\Delta{x}}[\frac{V(i+1,j,k)-V(i,j,k)}{\Delta{x}}-\frac{V(i,j,k)-V(i-1,j,k)}{\Delta{x}}]$
即：$\frac{\partial^2V}{\partial{x^2}}\approx\frac{V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)-2V(i,j,k)}{\Delta{x}^2}$
同理：$\frac{\partial^2V}{\partial{y^2}}\approx\frac{V(i,j+1,k)+V(i,j-1,k)-2V(i,j,k)}{\Delta{x}^2}$
$\frac{\partial^2V}{\partial{z^2}}\approx\frac{V(i,j,k+1)+V(i,j,k-1)-2V(i,j,k)}{\Delta{x}^2}$
代入Laplace方程，得
$V(i,j,k)=[V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)+V(i,j+1,k)+V(i,j-1,k)+V(i,j,k+1)+V(i,j,k-1)]/6$
对于本体的电容器，V在z方向不发生改变，仅考虑在x-y平面的电势分布。
$V(i,j,k)=[V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)+V(i,j+1,k)+V(i,j-1,k)]/4$
解此题：
1.求电势分布
代码
电势分布等高线图

电势分布三维图

空间的电场分布
代码
空间电场分布图

结合三个图像，我们可以看出两极板分别为电势的峰和谷，与猜测的一致。

总结

1.对于电容器，电势会在正极板处形成一个峰，在负极板处形成一个谷。
2，平行板电容器的电场线中间密，两边疏，中间场强大，两边场强弱。（竖直方向来看）

致谢

参考书籍：
Nichoulas J.Giordano, hisao Nakanishi.计算物理.清华大学出版社
参照了Markdown数学公式的输入
感谢吴雨桥同学的代码模板