Exercise 09 The Billiard Problem

（15级物院弘毅 陈亦林 2015301020152）

计算物理作业 Quastion3-31桌球问题

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【摘 要】 : 由书上内容可知，本实验主要研究了视为质点的刚性球在不同的封闭边界下发生弹性碰撞的运动轨迹，利用Vpython动态展示质点的运动。以环形边界，方形边界为例，比较在不同的物理情境下质点的运动情形。还考虑了不同势场下的轨迹。解决题目3-31。
【关键词】: python, 桌球问题，圆形边界，椭圆边界，不同势场

I. 问题回顾

Study the behavior for oher types of tables. One interesting possibility is a square table with a circular interior wall located either in the center, or slightly off-center. Another possibility is an elliptical table.

II. 理论推导

首先，考虑质点与边界发生弹性碰撞时速度的改变：

$$\vec{v_{i,\bot}}=(\vec{v_{i}}\cdot\hat{n})\hat{n},\vec{v_{i,\rVert}}=\vec{v_{i}}-\vec{v_{i,\bot}}$$ $$\vec{v_{f,\bot}}=-\vec{v_{i,\bot}},\vec{v_{f,\rVert}}=\vec{v_{i,\rVert}}$$
接着，设边界在碰撞点的法向量为$\hat{n}=a\hat{i}+b\hat{j}$：
$$\vec{v_i}=v_{i,x}\hat{i}+v_{i,y}\hat{j}$$ $$\vec{v_f}=v_{f,x}\hat{i}+v_{f,y}\hat{j}$$
综合上式得：
$$v_{f,x}=(1-2a^2)v_{i,x}-2abv_{i,y}$$ $$v_{f,y}=(1-2b^2)v_{i,y}-2abv_{i,x}$$

III. 在不同边界条件下，台球碰撞的轨迹和相图

1.同心圆边界条件下，台球碰撞的轨迹和y=0时相图截面

可以看出，由于同心圆边界的高度对称性。
轨迹没有出现混沌，而是呈现周期性变化。

相图与圆形边界的不同是，双曲线中间一段区域出现截断。

2.椭圆边界条件下，台球碰撞的轨迹和y=0时相图截面

可以看出，轨迹初射时通过一个焦点的话，经过边界的反射路径会通过另一个焦点。

IV. 重力势场下，不同边界下小球抛物的轨迹图

1.重力势场下，同心圆边界下小球抛物的轨迹图

2.重力势场下，45度角抛出球，方形边界下小球抛物的轨迹图

3.重力势场下，反向45度角抛出球，方形边界下小球抛物的轨迹图

反向抛球，可以发现，一个集中在右下角一半的另一个在左下角一般的区域内。

VI. 源代码

同心圆边界源代码
椭圆边界源代码
重力场下圆形边界源代码
重力场下方形边界源代码

VII. 结论

本次作业主要讨论了台球模型
在桌球模型中，由于桌面对称性很大，桌球的周期性比较明显。另外还研究了重力场下不同边界的运动轨迹。

VIII. 鸣谢

感谢黄梓宸同学在编程方面的指导！