Exercise 11 Jacobi Method

（15级物院弘毅 陈亦林 2015301020152）

计算物理作业 Quastion5-3

---

【摘 要】 : 由书上内容可知，本实验主要通过Jacobi方法研究方形电容器周围电势场，解决题目5-3。
【关键词】: python, Jacobi Method，电势场

I. 问题回顾

Use the symmetry of the capacitor problem to write a program that obtains the result by calculating the potential in only half of one quadrant of the x-y plane.

II. 理论分析

在不存在电荷的空间中，电势的分布遵循拉普拉斯方程:

$$\bigtriangledown ^{2}x=0$$
加上给定的边界条件，理论上我们就可以解出电势V。但是除了一些特殊的边界条件以外，对于这类问题我们难以得到解析解。所以我们必须使用数值计算的方法，得到电势的数值解。理论分析表明，对于本文中所讨论的情况，二维网格化离散的情况下，非边界上的点的电势相等于其周围最近的四个点的电势的平均值。
书中我们使用的方法是relaxation method，这种方法可以用来数值求解以拉普拉斯方程为代表的一类所谓的“椭圆偏微分方程”。
这种方法也是有不同的版本，最简单的一种是Jacobi方法。Jacobi方法的精髓是从一个符合边界条件的猜测解开始，通过迭代，使得数值解收敛于真实的解。在这种方法中引入了参数alpha，从而增大了收敛速度。

III.电容器周围电势场的求解

试求解如5-6的电容器问题。图中两块有限导体平板横坐标为±0.3，纵坐标范围是-0.3~+0.3。边界条件为左侧平板上电势为+1，右侧平板上电势为-1，周围x=±1和y=±1的地方电势为0.
我们首先使用Gauss-Seidel方法，对电容器附近的电势进行求解，求得的电势分布如图所示：


由图可知，空间中的电势场在左侧平板上呈现一个峰，在右侧平板上呈现一个谷。整体的分布情况与我们的直觉相符。下图为由电势分布推导出的电场分布：

IV. 源代码

电势
电场线

V. 结论

本次作业主要讨论了方形电容器周围电势场问题，可以得出以下结论：
1.对不同情况下电场的数值计算结果与电磁学一致，表明数值方法是可靠的。
2.Jacobi方法迭代的有效性从图上反映的很直观
3.空间中的电势场在左侧平板上呈现一个峰，在右侧平板上呈现一个谷。整体的分布情况与我们的直觉相符。