Exercise 12 Waves

（15级物院弘毅 陈亦林 2015301020152）

计算物理作业 Quastion6-6

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【摘 要】 : 在这次作业中，我们将通过python语言的编程来探究波的运动行为，从简单的波受激，波叠加开始考虑多个波包叠加和不同的“string".解决题目6-6。
【关键词】: python, 波包叠加, 不同的弦

I. 问题回顾

An imortant feature of a linear equation is that the sum of two solutions is aslo a solution. Show that the wavepackets are unaffected by those collisions.

II. 理论推导

首先, 有普遍适用的波动方程：

$$\frac{\partial^2 y }{\partial t^2}=c^2\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}$$
我们就以此为出发点，研究弦两段固定是，弦上波包的传递，叠加问题，设$x=i\Delta x$，$t=n\Delta t$，则上式可化为： $$\frac{\partial y^2}{\partial t^2}=\frac{y(i,n+1)+y(i,n-1)-2y(i,n)}{(\Delta t)^2}$$ 因此整个方程变为：： $$y(i,n+1)=2[1-r^2]y(i,n)-y(i,n-1)+r^2[y(i+1,n)+y(i-1,n)]$$
其中，$r=c\Delta t/\Delta x$
加上边界条件 $$y(0,n)=y(M,n)=0$$
即可求得波包的行为。

III. 证明两个乃至多个高斯波包在上述情况下相向传递时互不影响，在相遇时叠加。

1.在平直水平弦上两个高斯波包相向传递

下面是演示的gif

演示的gif1

（这个gif不知道为什么极为耗内存。。。如果直接附上gif这个页面都无法打开卡死了。。。所以单个附上链接打开会好一些，但是还是强烈建议关闭其余多的网页！！）

从这里可以很直观地看出：两个高斯波包在上述情况下相向传递时互不影响，在相遇时叠加，直观上就像直接穿过去了，波速，波形，振幅都不会变化。并且可以观察到波包在固定的弦两端发生反弹。

2.在平直水平弦上三个高斯波包相向传递

演示的gif2

同理三个高斯波包在上述情况下相向传递时互不影响，在相遇时叠加，直观上就像直接穿过去了，波速，波形，振幅都不会变化。
由此可以得出多个高斯波包在上述情况下相向传递时互不影响，在相遇时叠加，在固定的端点处反弹。

IV一些有趣的东西——改变弦的方程

1.弦方程为$y=\left ( x-0.5 \right )^{2}$时

演示的gif3

可以看出，抛物线弦的行为非常符合我们的直观猜想。

1.弦方程为$y=x^{2}e^{-x}$时,就变得有些意思了

演示的gif4

V. 源代码

源代码