第二章作业（第二次）

未分类

摘要：

本次作业为书上2.19题，以棒球为粒，建立数值模型，棒球在高速运动时，空气拖拽系数将严重影响棒球的运动。并且由于棒球的旋转将使球体受到Magnus力。本题中通过欧拉法给出差分方程，求出棒球在有阻力和无阻力下飞行轨迹。

背景介绍：

棒球运动中受到力：
$\begin{cases}空气阻力项：-B_2v^2\vec{v^0}\\重力：m\vec{g}\\Magnus项：S_0\vec{v}\times\vec{\omega}\end{cases}$
则运动轨迹差分方程可表示如下：
$\begin{cases}x_{i+1}=v_{x,i}\Delta{t}+x_i\\y_{i+1}=v_{y,i}\Delta{t}+y_i\\z_{i+1}=v_{z,i}\Delta{t}+z_i\\v_{x,i+1}=(-\frac{B_2}{m}vv_x+\frac{S_0}{m}v_y\omega{_z})\Delta{t}+v_{x,i}\\v_{y,i+1}=(-g-\frac{B_2}{m}vv_y+\frac{S_0}{m}v_z\omega{_x})\Delta{t}+v_{y,i}\\v_{z,i+1}=\frac{S_0}{m}v_x\omega{_y}\Delta{t}+v_{z,i}\end{cases}$
通过欧拉法，选取合适的时间间隔，逐点取值，便可以近似得到较准确的运动轨迹。

正文：

在考虑空气阻力、重力、Magnus情况下，选取初速度和初始位置为：
$(v_{x},v_{y},v_{z})=(50m/s,50m/s,0)$，(x,y,z)=(0,0,0)
选取$(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$分别为
$\begin{cases}(0,0,-2000)\\(0,0,-1000)\\(0,0,209)\\(0,0,2000)\\(0,0,20000)\end{cases}$
棒球轨迹受到显著影响。
取$(\omega_x,\omega_y,\omega_z)=(0,0,-2000)$轨迹显示棒球逐渐向左运动，达到临界值再返回。

代码
比较无空气阻力和有阻力的情况下：

代码

结论：

当球的转速较大的时候，Magnus力起到作用，使得其轨迹发生明显改变，适当的选取Magnus力，可以获得不同旋转程度即各种不同运动方向的棒球运动轨迹。
空气阻力和Magnus力的作用下棒球轨迹变化，射程减短。

致谢：

感谢敬雷同学热情帮助；
感谢陈洋瑶同学提供的程序进行了参考。

待续