第四章作业（第一次）

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摘要：

本次完成作业题目chapter4_problem4.7，双星系统在不同质量比的情况下运动轨道的变化。以及非平方反比情形下运动轨迹。

背景介绍：

在地日轨道中，一般认为太阳的质量足够大，往往忽略太阳的运动，但当行星质量不远小于中心天体质量时，中心天体不再能够近似为相对体系质心静止的状态。
利用牛顿第二定律，以及在太阳系中，行星受到太阳的引力作用：
可知：
$\begin{cases}f_{G}=\frac{GM_SM_E}{r^2}\\f_{G,x}=-\frac{GM_SM_Ex}{r^3}\\f_{G,y}=-\frac{GM_SM_Ey}{r^3}\\\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{f_{G,x}}{M_E}\\\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{f_{G,y}}{M_E}\end{cases}$
即行星运动规律。

采用天文学单位，利用Euler-Cromer method:
$\begin{cases}v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{4\pi^2x_{i}}{r_{i}^3}\Delta t\\v_{y,i+1}=v_{y,i}-\frac{4\pi^2y_{i}}{r_{i}^3}\Delta t\\x_{i+1}=x_{i}-v_{x,i+1}\Delta t\\y_{i+1}=y_{i}-v_{y,i+1}\Delta t\end{cases}$

正文：

Binary

Binary
为了获得简明的双轨道，任意时刻保持系统动量：（$m_1v_1+m_2v_2=0$）
选取初始位置pos_1 =(1.,0.,0.], pos_2 = (-1.,0.,0.),
当双星质量$m_{1}$:$m_{2}$=1:0.4时：

不闭合
当双星质量$m_{1}$:$m_{2}$=1:0.6时：

闭合椭圆
当双星质量$m_{1}$:$m_{2}$=2:1时：

当双星质量$m_{1}$:$m_{2}$=1:1时：

做相同轨迹运动，初始条件影响位置。
当$m_{1}$：$m_{2}$=1：30时：

显然$m_{2}$质量远大于$m_{1}$时：

由于保持系统动量为0，此时$v_y$较大。

$m_{2}$静止时：

$m_{2}$：$m_{1}$> 1：0.45时：

$m_{2}$：$m_{1}$ < 1：4时：

轨道闭合。

非平方反比:代码

当不满足平方反比时，可以发现，轨道不稳定。\

结论：

1.条件合适时，双星轨道为圆形。
2.当质量比在1：0.45---1：4之间时，x-y具有闭合轨道。
3.当不满足平方反比时，可以发现，轨道不稳定

致谢：

[1]N.J. Giordano,H. Nakanishi.Computational Physics(second edition)（影印版）.清华大学出版社