第八次作业---单摆运动探究

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2013301020024 谢章权

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• 摘要

  　　通过使用Euler,Euler-cromer近似方法来模拟单摆的运动行为，包括线性单摆与非线性单摆。

• 背景内容

  　　１．对于单摆，最简单的模型即为不考虑空气阻力等外力，仅考虑重力的小角近似线性常微分运动方程，即为
  

  $$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-{g\over l}\theta$$
  　　　　通过选取适当变量 $\omega$ 使得
  $$\frac{d\theta}{dt}=\omega$$
  　　　　则可运用前面所学常微分方程求解知识进行求解。

  　　２．若考虑外力（含驱动力），则单摆运动方程为
  

  $$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-{g\over l}\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)$$
  　　３．如果是非线性单摆（不考虑小角近似），则
  $$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-{g\over l}sin\theta$$

• 正文

　　　１．对于线性仅含重力情形模拟

　　 　　Euler-calculate

$$\omega_{i+1}=\omega_{i}-{g\over l}\theta{\Delta}t$$
$$\theta_{i+1}=\theta_{i}-\omega_i{\Delta}t$$
$$t_{i+1}=t_{i}+{\Delta}t$$

　　 　　Euler-cromer-calculate

$$\omega_{i+1}=\omega_{i}-{g\over l}\theta_i{\Delta}t$$
$$\theta_{i+1}=\theta_{i}-\omega_{i+1}{\Delta}t$$
$$t_{i+1}=t_{i}+{\Delta}t$$

　　　　　其基本保持一个正弦波的运动状态
　　　　　可以看出，对于单摆的摆动模拟，Euler-cromer方法要优于Euler方法。

　　　２．对于线性含外力情形模拟

　 　　　Euler-cromer-calculate

$$\omega_{i+1}=\omega_{i}-[{g\over l}sin\theta_i-q\omega_{i}+F_Dsin(\Omega_Dt)]{\Delta}t$$
$$\theta_{i+1}=\theta_{i}+\omega_{i+1}{\Delta}t$$
$$t_{i+1}=t_{i}+{\Delta}t$$

　　　　可看出当q=0时，即使存在驱动力单摆依旧可以达到一种动态的类正弦稳定平衡。
　　　　q$\neq$0时（$q=1.0$,$\Omega=2.0$,$F_D=0.2$），单摆最终会趋于静止

　　　3．对于非线性不含外力情形模拟

　 　　　Euler-cromer-calculate

$$\omega_{i+1}=\omega_{i}-{g\over l}sin\theta_i{\Delta}t$$
$$\theta_{i+1}=\theta_{i}-\omega_{i+1}{\Delta}t$$
$$t_{i+1}=t_{i}+{\Delta}t$$

　　　　可看出此时的振幅是与周期正有关的，具体数值对比如下
　　　　　　　　　　($g=9.8m/s^2,l=1m$)

初始振幅($\theta^°$)	周期T(s)
20	2.01
30	2.04
60	2.15
80	2.28

• 总结
  对于摆子的运动学模拟，Euler-cromer很明显是优于Euler法的。对于非线性单摆（不考虑小角近似），它的周期不再与我们通常所认为的周期公式$2\pi\sqrt{l\over g}$吻合,而是与初始释放位置（振幅）正相关。