第十三次作业--求解拉氏方程

2013301020024 谢章权

1. 摘要

   求解电磁场问题时，需要用到拉氏方程。本文将就此展开一些论述。

2. 背景内容

   拉氏方程为
   

   $$\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0$$
   近似即
   $$\frac{\partial V}{\partial x} \approx \frac{V(i+1,j,k)-V(i,j,k)}{\Delta x}$$
   $$\frac{\partial V}{\partial y} \approx \frac{V(i,j+1,k)-V(i,j,k)}{\Delta y}$$
   $$\frac{\partial V}{\partial z} \approx \frac{V(i,j,k+1)-V(i,j,k)}{\Delta z}$$
   即
   $$\frac{\partial^2V}{\partial x^2} \approx \frac{V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)-2V(i,j,k)}{({\Delta x})^2}$$
   则进行模拟时的关键在于下式
   $$V(i,j,k)=\frac{1}{6}[V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)+V(i,j+1,k)+V(i,j-1,k) +V(i,j,k+1)+V(i,j,k-1)]$$

   3. 正文

   现考虑两个平行电路板，求其附近势能分布。
   初始赋值为板间距边界势能均匀变化，板势能分别恒为+1，-1.
   模拟图如下
   ！三维势能
   ！三维势能
   我们从图中可看出，在x=0.3处势能恒为-1，在x=-0.3处势能恒为+1，其他地方的势能分布也满足实际情况。
   进一步模拟发现，随着步长的减小，图像会显得更加圆滑，也更逼近实际情况。

   4. 总结

   使用矩阵来模拟势能是一个很好的办法，因为势能本身就是一个与空间坐标的函数。这也说明了为什么我们减小步长，就能得到更符合实际情况的模拟结果。原因在于在相同长度的范围内，减小步长，意味着将空间更多的点带入运算，更为精确。