第十一次作业---行星问题

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2013301020024 谢章权

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• 摘要

  　　研究行星的轨道问题。

• 背景内容

  　　模拟仅考虑万有引力，相应的数学公式如下
  

  $$F_G=\frac{GM_sM_e}{r^2}$$
  　　　　 $$\frac{d^2x}{dt^2}=\frac{F_{G,x}}{M_e}$$
  $$\frac{d^2y}{dt^2}=\frac{F_{G,y}}{M_e}$$
  　　　　 $$F_{G,x}=-\frac{GM_sM_e}{r^2}cos\theta=-\frac{GM_sM_ex}{r^3}$$
  　 $$F_{G,y}=-\frac{GM_sM_e}{r^2}sin\theta=-\frac{GM_sM_ey}{r^3}$$
  　　　则相应的运动学方程为
  $$\frac{d^2x}{dt^2}=-\frac{GM_sx}{r^3}$$
  $$\frac{d^2y}{dt^2}=-\frac{GM_sy}{r^3}$$

• 正文

　　　对于地球

$$GM_s=v^2r=4\pi^2AU^3/yr^2$$
令地球初始位置为 $$x=0,y=0$$
令地球初始速度为 $$v_x=0,v_y=2\pi$$
仅考虑太阳对其引力，可得模拟图像如下
！earth
由图可看出，地球的轨道为一半径为1AU的圆，这是符合实际的。

现在我们考虑两体问题，即两者质量相近，相互都在运动
赋予不同的初值我们可以发现不同的模拟结果
如下图

此时两体相伴运动，很富有美感。

此时两体都在做螺旋线运动，很有周期感。

在使用vpython做动态模拟展示发现更加具有美感，相关vpython代码如下
vpython

• 总结
  通过模拟可以看出，双体问题是一个对初值条件要求很严格的模拟，起始的初值差距最后会演变为比较大的差距。但如果赋值合适的话，双体将会进行有规律的周期运动。嗯，很有美感。