第五次作业

计算物理作业 炮弹轨迹

一、摘要

• problem 2.9 :
  Calculate the trajectory of our cannon shell including both air drag and the reduced air density at high altitudes so that you can reproduce the result in Figure 2.5. Perform your calculation for different firing angles and determine the value of the angle that gives the maximum range.
• 在本次作业中，首先对比了在没有空气阻力(no air drag)、等温模型(isothermal)、绝热模型(adiabatic)这三种情况下的炮弹轨迹，并发现考虑空气阻力时炮弹的射程会大大的缩短。接着本文分别计算了等温模型、绝热模型下的最大射程角，并做了轨迹模拟。

二、考虑空气阻力及忽略空气阻力时的炮弹轨迹

• 在不考虑空气阻力时，炮弹的最远射程角为45°，然而在考虑空气阻力时炮弹的轨迹与原来是否会有明显的差别呢？
  我们分别考虑两种情况下的炮弹受力，在没有空气阻力时，炮弹仅受重力影响，有：
  $$\frac{dV_x}{dt}=0$$ $$\frac{dV_{y}}{dt}=-g$$
    而在考虑空气阻力并且空气密度随海拔变化时，我们有两种模型：等温模型和绝热模型。
  对于等温模型，有：
  $$\frac{dV_{x}}{dt}=-\frac{B_{0}}{m}e^{-y/y_{0}}VV_{x}$$
  $$\frac{dV_{y}}{dt}=-\frac{B_{0}}{m}e^{-y/y_{0}}VV_{y}-g$$
    式中$\frac{B_{0}}{m}=4\times 10^{-5}(m^{-1})$，$y_{0}\approx 1.0\times 10^{4}(m)$
  对于绝热模型，有：
  $$\frac{dV_{x}}{dt}=-\frac{B_{0}}{m}(1-\frac{ay}{T_{0}})^{\alpha }VV_{x}$$
  $$\frac{dV_{y}}{dt}=-\frac{B_{0}}{m}(1-\frac{ay}{T_{0}})^{\alpha }VV_{y}-g$$
    式中$T_{0}=300K$，$a\approx 6.5\times 10^{-3}K/m$，$\alpha \approx 2.5$
• 根据上述的表达式，我们使用欧拉法模拟轨迹，并取炮弹初速度为700m/s,发射角为45° ,得到图像：
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  可见，空气阻力对炮弹的射程有着非常大的影响，因此在预测炮弹轨迹时我们必须将空气阻力纳入考虑范围。

三、等温(isothermal)模型下炮弹的最远发射角

• 下面我们将讨论在等温模型下的炮弹的最远发射角，我们通过计算机枚举在30°到60°的每一个发射角的射程来找出最远发射角。
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    通过图像可以看到，最远射程出现在45°到47°之间，为了找到最远射程角，我们分别计算了发射角为45°、46°、47°的轨迹，由于它们的落点十分接近，我们将落点放大了：
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  可见46°为等温条件下的最远发射角。

四、绝热(adiabatic)模型下的最远发射角

• 绝热条件与现实更加接近，因为现实世界中温度随海拔的变化十分明显。我们用枚举法寻找它的最远发射角。
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  由图像可知，最远发射角出现在43°到45°之间，同样，我们作出43°、44°、45°时的落点图。
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可以看到，绝热模型下的最远射程角为44°

五、总结

• 经过计算模拟，我们找到了三种不同模型下的最远射程角，并可以得到它们的最远射程

  可以看到，空气阻力对于落点的预测至关重要（都差上25000多米了......）同时对于空气密度的模型选择也至关重要，选择绝热模型时最远射程角小于45°，而选择等温过程时最远射程角大于45°
  本次作业在参考了丁冬冬的代码结构的基础之上由本人独立编写完成，在这里向丁冬冬表示感谢！