第七次作业

计算物理作业 混沌系统 物理摆

一、摘要

• Problem 3.11
  For the three values of $F_{D}$ shown in Figure 3.6,compute and plot the total energy of the system as a function of the time and discuss the results.
• 对于一个非线性钟摆模型即物理摆，在我们考虑了摩擦并加入了强制驱动力等因素后，体系便形成了一个混沌系统，任何轻微的改变都会造成不可预知的影响。本次作业使用改进后的Euler-Cromer方法进行计算。

二、物理摆的受力分析

• 在考虑了摩擦、重力、驱动力后，摆的受力方程可以写成：
  $$\frac{d^2θ}{dt^2}=-\frac{g}{l}sinθ-q\frac{dθ}{dt}+F_Dsin(Ω_Dt)$$
  $$\frac{d\omega}{dt}=-\frac{g}{l}sinθ-q\omega+F_Dsin(Ω_Dt)$$
  在计算中，我们取 $\frac{g}{l}$=1、q=0.5、$Ω_D$=2/3

三、摆的运动及能量分析

1）. $F_D=0$ 的情况下

摆的运动轨迹为：

可以看到，在没有驱动力的条件下受摩擦力的影响，摆的摆角逐渐衰减。
  我们将摆的能量分成动能和势能两个部分，并设总能量为它们的总和，我们得到·它们的综合曲线：

可以看到，动能和势能曲线相互交错，总能量因为摩擦力的缘故快速下降。如果考虑总能量，可以得到下图：

2）. $F_D=0.5$ 的情况下

摆的运动轨迹为：

可见，经过一段时间后摆的频率与驱动力达到一致，考虑系统的动能和势能：

图形呈现美观的规律性，如果只考虑总能量：

3）. $F_D=1.2$ 的情况下

当驱动力的振幅达到1.2时，系统的运动出现了不同：

可见，摆的运动极为不规律，失去了可预测性。图中之所以会有尖角是因为当摆的摆角超过$2\pi$时，我们人为的修正为小于$2\pi$的值。
  动能及势能的曲线如下：

单独的能量曲线如下：

可见在$F_D$=1.2时体系的混沌性质显现出来，运动轨迹和能量都没有规律性，更不用说解析解了。

四、总结

• 经过计算机计算，我们得到了混沌体系下的物理摆的运动曲线及能量曲线，但值得注意的是，对于一个混沌系统任何的微小误差都会带来不可预测的改变。因此，试图通过计算机来精确模拟混沌系统的轨迹本身就是不可能的，因为截断误差足以使轨迹偏离，并且随着时间越久，偏离越大。但计算方法并非无用，它已经足以表现出混沌系统的不可预测的性质，并且当时间不长时，可以做出较为精确的模拟。
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