第八次作业

计算物理作业 Problem3.26

一、摘要

• Problem 3.26
• 气象学家洛伦兹在1963年论文中提出的它的公式以表示天气模型。天气系统如此复杂，用数百万个变量来描述都不为过，但洛仑兹将其压缩到了三个变量：x，y和z，所以这只是一个玩具模型。这个玩具模型并不能准确的预测，只是一个十分简化的理论模型，但是对于他的论点来说，也许恰到好处。本次实验在洛伦兹简化的方程虽然只有三个随着时间变化的变量但是却能够很好地诠释了因素之间的相互影响。在洛伦兹模型下通过改变系数r来研究天气系统的混沌现象。

二、洛伦兹模型

• 定义X为温度（temperature）、Y为密度（density）、Z为速度（velosity），有以下方程组：
  $$\frac {dx}{dt}=\sigma (y-x)$$
  $$\frac {dy}{dt}=-xz+rx-y$$
  $$\frac {dz}{dt}=xy-bz$$

三、混沌现象的产生

• 在洛伦兹模型中，对系统影响最大的因素是$r$，因此我们讨论$r$取何值时系统会表现出混沌。为了直观，我们做出$Z$随$t$的变化规律图像，首先我们取$r$=10、20、30：

可见，r=30到r=20之间存在着混沌的临界点，经过尝试，临界点在22到23之间（具体的临界值随着计算间隔dt的选择略有不同）：

另外，在r=160左右时系统再次经历了变为混沌的过程：

四、对混沌现象的相图讨论

• 经过上文的讨论，我们选取临界点附近的 r=30 和 r=160 ，画出他们的Z-X、Z-Y相图。

1）r=30的情况

如果我们绘制XYZ的三维图，得到如下结果：

选取X=0、Y=0时的截面，我们得到下图：

2）r=160的情况

绘制XYZ的三维图，得到如下结果：

选取X=0、Y=0时的截面，我们得到下图：

可见r=160时由于截面上只有寥寥几个点，因此无法在截面相图上看出。

• 二维图代码链接、三维图代码链接、截面图代码链接
• 鸣谢，感谢丁冬冬学长，由于看不懂学长的代码，最后逼的我编出了完全的原创代码。