计算物理第六次作业

物基一班 李云龙 2013301020065

背景

习题2.9.
关于抛体运动，我们知道在相同初速度的情况，并且不考虑空气阻力时，不同的发射角度会有不同的水平射程。在不计入空气阻力时，其运动方程简单，可以直接积分求解；但若引入空气阻力，则使抛体的运动方程变得复杂，特别是当计及空气阻力形式与海拔高度等复杂因素的关系时，抛体运动方程将更加复杂。本次作业讨论无阻力情况、有阻力情况和空气阻力随物理高度变化即空气密度变化时水平射程和发射角度的关系。我们将利用欧拉方法求解其运动方程并忽略科里奥利力。

摘要

本文采用欧拉方法解决课本习题2.9.

正文

• 无空气阻力与有空气阻力（不考虑随高度变化）的对比

  抛体运动可通过牛顿经典力学方程来进行处理。
  在不计入空气阻力的情况下，抛体只受到重力，因而其运动规律由牛顿运动方程给出：
  

  $$\begin{align}\frac{\rm d^2x}{\rm dt^2}=0 \tag 1\\\frac{\rm d^2y}{\rm dt^2}=-g \tag 2\end{align}$$
  其中g是重力加速度。对这两个方程进行解析求解，我们可以进一步得到四个一阶方程：
  $$\begin{align}\frac{dx}{dt}=v_x\tag 3\\\frac{dv_x}{dt}=0\tag 4\\\frac{dy}{dt}=v_y\tag 5\\\frac{dv_y}{dt}=-g\tag 6\end{align}$$
  根据欧拉方法我们可以得到如下计算公式：
  $$\begin{align} x_{i+1}=x_i+v_{x,i}\Delta t\tag 7\\v_{x,i+1}=v_{x,i}\tag 8\\y_{i+1}=y_i+v_{y,i}\Delta t\tag 9\\v_{y,i+1}=v_{y,i}-g\Delta t\tag {10}\end{align}$$
  因此我们可以根据上面（7）-（10）式进行迭代计算，从而得到没有空气阻力时的解析解。 代码由下超链接给出：chapter-2-TZ-cannon shell.py
  
  当考虑空气阻力时，我们需要在（1）式右边加上空气阻力的受力项，考虑空气阻力与速度的二次方成比例的情况，阻力由下式给出：
  $$F_{drag}=-B_2v^2\tag {11}$$
  阻力的方向总是和速度的方向相反，则有：
  $$F_{drag,x}=F_{drag}cos\theta=F_{drag}(v_x/v)\tag{12}$$
  y方向受力同理x方向。
  分别得到x，y方向受到阻力可以写成：
  $$F_{drag,x}=-B_2vv_{x}\tag{13}$$ $$F_{drag,y}=-B_2vv_{y}\tag{14}$$
  将阻力添加到（7）-（10）式当中，可以得到：
  $$x_{i+1}=x_i+v_{x,i}\Delta t\tag {15}$$
  $$v_{x,i+1}=v_{x,i}-\frac{B_2vv_{x,i}}{m}\Delta t\tag {16}$$
  $$y_{i+1}=y_i+v_{y,i}\Delta t\tag {17}$$
  $$v_{y,i+1}=v_{y,i}-g\Delta t-\frac{B_2vv_{y,i}}{m}\Delta t\tag {18}$$
  此即为欧拉方法计算有空气阻力（不考虑随高度变化）时的弹道轨迹的方程组（15）-（18）。代码由下超链接给出：chapter-2-TZ-cannon shell.py
  
  通过计算初始的水平及竖直速度均为$v_x=v_y=700m/s$,$B_2/m=4\times10^{-5}m^{-1}$，我们得到在无空气阻力与有空气阻力（不考虑随高度变化）两种情况下，不同发射角度时炮弹的水平射程曲线：
  
  由上图可见，空气阻力对炮弹的水平射程影响极大。并且可以看出最大水平射程时的发射角度在$45^\circ$左右。

在不考虑空气阻力影响时，我们在30-60°之间扫描，得到发射角度和水平射程的距离之间关系曲线如图：（代码连接）

可以看出，不考虑空气阻力时发射角为$45^\circ$时水平射程最大。

在考虑有空气阻力（不考虑随高度变化）影响时，我们在20-60°之间扫描，得到发射角度和水平射程的距离之间关系曲线如图：（代码连接）

可以看出，考虑空气阻力（不考虑随高度变化）影响时发射角为$36^\circ$时水平射程最大。

• 空气阻力随高度变化与空气阻力不考虑随高度变化时的对比

  我们考虑绝热近似条件下的变化，可得到空气密度随高度的变化关系式为：
  

  $$\rho=\rho_0(1-\frac{ay}{T_0})^\alpha\tag{19}$$
  其中$a\approx6.5\times10^{-3}K/m$,$\alpha\approx2.5$。
  可以得到空气阻力随密度的变化关系为：
  $$F_{drag}^*=\frac{\rho}{\rho_0}F_{drag}(y=0)\tag{20}$$
  类似于（15）-（18）式可以将（19）、（20）式添加到（7）-（10）式中推得类似的欧拉方程组。

绝热近似下欧拉方法解决弹道轨迹空气阻力不考虑随高度变化时的对比，代码如下给出：（chapter-2-TZ-adi draged connon.py）

实验得到曲线关系为：

可见考虑绝热近似时，由于空气密度随高度增加逐渐减下，相应的阻力也随之减小，炮弹的水平射程比不考虑空气阻力随高度变化时要远。

同样在30-60°之间扫描（代码连接），得到发射角度和水平射程的距离之间关系如图：

可以看出考虑绝热近似时，在$47^\circ$时水平射程最远。

总结

1.空气阻力对炮弹的水平射程有很大影响。一定初速度时（包括大小和方向），无阻力、恒阻力及阻力随高度变化三种情况下炮弹的水平射程大小情况为：无阻力>阻力随高度变化>恒阻力。因此要提高炮弹射程，可以通过改变炮弹形态等方式适当减下空气阻力。

2.空气阻力对炮弹飞行的轨迹有很大影响。一定初速度时（仅包括大小），无阻力、恒阻力及阻力随高度变化三种情况下炮弹达到最大水平射程时的反射角关系为：阻力随高度变化>无阻力>恒阻力。因此，可以适当选择炮弹的发射角度来达到最远水平射程。

致谢

感谢陈洋遥同学和舟舟同学的作业启发及指教。
本文公式编辑方法通过@codeep的文章《Cmd Markdown公式指导手册》编写，特此鸣谢。