计算物理第七次作业

物基一班 李云龙 2013301020065

背景

本文主要解决课本习题2.19.考虑棒球存在自旋情况下，有空气阻力时的运动情况。

摘要

棒球是一项很多人喜爱的运动。棒球球速高，球轨迹变化多，投球手会有很多变化的技巧来导致击球手对球的轨迹错误的判断。当棒球在空中飞行时，我们假设其所受空气阻力与速度平方成比例，并且棒球的旋转将使其受到额外的Magnus力，本文对棒球的运动加以讨论。

正文

棒球的飞行是典型的抛体运动，可以用牛运运动定律来进行求解。在飞行过程中，我们考虑竖直方向上（y方向）棒球受到重力作用，水平方向沿棒球运动方向上（x方向）棒球受到水平向后的阻力，z方向上由于棒球的旋转将受到Magnus力，考虑到棒球竖直方向上运动速度远小于水平x方向速度，故忽略该方向上的空气阻力。
通过课本对棒球几种形态（光滑球、普通球、曲线球）运动的讨论，我们可以得到普通球的空气阻力系数因子为：

$$\frac{B_2}{m}=0.0039+\frac{0.0058}{1+\exp({\frac{v-v_d}{\Delta}})}\tag 1$$
式子中，$v_d=35m/s$,$\Delta=5m/s$.
考虑到棒球的旋转（假设旋转轴为y轴），则棒球受到沿z方向的Magnus力，其受力分析图如下图所示：

如假设空气阻力正比于运动速度平方，则magnus力正比于棒球两端由于角速度引起的与空气的相对速度平方之差：
$$F_M\propto(v+r\omega)^2-(v-r\omega)^2=vr\omega\tag 2$$
根据矢量关系我们得到：
$$F_M=S_0\omega v_x\tag 3$$
其中$S_0/m=4.1\times10^{-4}$.这里棒球的质量我们假设为$m=149g$.
棒球的运动为三维的，我们可以列出来以下方程组：
$$\frac{dx}{dt}=v_x\tag 4$$
$$\frac{dv_x}{dt}=-\frac{B_2}{m}v v_x\tag 5$$
$$\frac{dy}{dt}=v_y\tag 6$$
$$\frac{dv_y}{dt}=-g\tag 7$$
$$\frac{dz}{dt}=v_z\tag 8$$
$$\frac{dv_z}{dt}=-\frac{S_0}{m}v_x\omega\tag 9$$
由（4）-（9）式结合欧拉方法，只要知道棒球前一时刻的状态，就可通过上述方程给出下一时刻的状态，从而反复迭代最终获得棒球的整个运动轨迹。

为研究空气阻力对棒球运动的影响，我们分别计算有、无阻力时棒球运动的情况。实验中取棒球初速度为110mph，反射角为45度。
实验代码如下：（ch2_baseball_backspin-tz.py）
得到如下实验曲线：

从图中可以发现，空气阻力大大减少了棒球的射程，有空气阻力时棒球轨迹明显低于无空气阻力的情况，另外，棒球的旋转对于其射程也有一定的影响。

为更加明确棒球旋转对于其运动的影响，我们来考虑三维的情形，基本参数取值与前面相同，棒球旋转的角速度沿竖直方向，棒球的轨迹将显著偏离发射面。
实验代码如下所示（ch2_baseball_backspin_3d-tz.py）
得到如下实验曲线：

由图可见，棒球运动偏离发射面的程度由其旋转的角速度决定，角速度越大偏转程度越大，棒球的旋转的角速度显著影响其运动轨迹。

总结

本文主要讨论了棒球所受空气阻力和Magnus力对棒球运动的影响。我们可以看到，棒球所受空气阻力明显降低了棒球x方向运动距离，当棒球旋转角速度足够大时，所受magnus力使其沿z方向上有较大移动。可见，棒球的运动轨迹有很大的可变性，这也使得投球手不断改进投球方式，击球手不断锻炼自身，使得这项运动更具有挑战性和观赏性。

致谢

本文参考了刘星辰同学和陈洋遥同学的作业，特此感谢。