计算物理第九次作业

物基一班 李云龙 2013301020065

背景

混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。
进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的。
混沌理论所研究的是非线性动力学混沌，目的是要揭示貌似随机的现象背后可能隐藏的简单规律，以求发现一大类复杂问题普遍遵循的共同规律。

摘要

本文主要探讨了关于物理摆简谐振动的混沌现象。

正文

不同于第八次作业中的简化，本次我们研究中作如下改变：
1.不再假设小角度近似（即采用非线性近似）；
2.添加阻尼项；
3.增加驱动项。
将三者结合起来考虑，可以得到如下运动方程：

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)\tag1$$
化为一阶方程组之后，根据欧拉-克拉默方法，可以得到如下计算关系式：
$$\omega_{i+1}=\omega_i-[(g/l)sin\theta_i-q\omega_i+F_Dsin(\Omega_Dt_i)]\Delta t\tag2$$
$$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t\tag3$$
$$t_{i+1}=t_i+\Delta t\tag4$$
计算过程中，保持$\theta$始终在$[-\pi,\pi]$区间内。

• 初识混沌现象：

首先考虑$F_D=0,0.5,1.2$三者时的$\theta—t$曲线关系：
其他参量分别为：$q=1/2,l=g=9.8,\Omega_D=2/3,dt=0.04,\theta(0)=0.2,\omega(0)=0$
实验代码如下：（chaos_tz.py）
得到如下实验曲线：

可以看到：
当$F_D=0$时，摆为阻尼摆，摆在一段时间后停止摆动。
当$F_D=0.5$时，摆迅速进入稳定的周期性（正弦函数）摆动状态。
当$F_D=1.2$时，摆的运动变得毫无规律，运动轨迹随时间变化没有周期性，这就是混沌行为。

• 添加微小扰动：

为进一步研究混沌的特征，假设有两个相同的摆，具有相等的长度及阻尼系数。它们唯一的区别在于摆的初始角度不一样。假设摆的常数同上，对其中一个摆添加初始微小扰动，两摆初始角度相差0.001rad，通过计算得到$\Delta\theta=|\theta_1-\theta_2|$与时间的关系曲线，实验代码如下：（CHAOS2_tz.py）

当$F_D=0.5$时，两摆的摆角差随时间的变化是有规律的，$\Delta\theta$每过一定时间就会上升形成一个波峰，所有波峰的连线是一条趋势线，趋势线满足关系$log(\Delta\theta)$正比于$\lambda t$,即$\Delta\theta\approx e^{\lambda t}$。
当$F_D=1.2$时，变化再次没有规律可循。

通过以上实验结果可以发现，在非混沌情况(无驱动和弱驱动)下，两个摆的摆角差异逐渐减小，而在混沌情况，两个摆的摆角差距则逐渐增大，最终增大到极限。可见，混沌系统之所以是“不可预测性”的，其原因就在于尽管摆的方程存在唯一解，但解并不稳定，对初值极为敏感，因而这样的解就导致了混沌运动。

• 观察位形空间相图

分别作出$F_D=0.5$，$F_D=1.2$时的$\omega-\theta$曲线，实验代码如下：（CHAOS3_tz.py）

在$F_D=0.5$时，曲线最后趋近于一个椭圆；
当$F_D=1.2$时，摆的相轨线杂乱无章，体现了混沌运动的高度非周期性。

• 观察分形结构：

为进一步看到混沌运动的内禀特征，我们只取驱动力周期的整数倍时刻（即满足$\Omega_Dt=2n\pi$）去观察摆的运动，把这些时刻的相画在相图上，得到庞加莱截面。实验代码如下：（CHAOS4_tz.py）

• 混沌机制——周期倍增

在$F_D=1.2$时摆出现混沌现象，继续增大$F_D$，当$F_D$分别等于1.35,1.44,1.465时得到$\theta—t$曲线关系，实验代码如下（CHAOS5_tz.py）

当$F_D=1.35$时，曲线为单倍周期；
当$F_D=1.44$时，曲线为双倍周期；
当$F_D=1.465$时，曲线为四倍周期。

一般来说，系统从简单运动过渡到混沌运动有不同的机制，然而很多情况下，其混沌的产生均有赖于周期倍增现象，周期加倍是产生混沌的一种机制。

总结

通过本文分析可以得到混沌现象具有内在随机性、敏感依赖性、分形性质等特征，是一个值得深入讨论研究的现象。

致谢

本文参考了陈洋遥同学和舟舟同学的作业，特此致谢；
本文参考了计算物理教材，特此致谢。