计算物理第十次作业

物基一班 李云龙 2013301020065

背景

LORENZ模型是E.N.LORENZ从气象问题中抽象出来的一个极简化的模型，但仍然能够有效展示混沌现象的产生，并且可以期待一般流体中也会拥有这样的混沌产生机制。本文主要对其进行展示。

摘要

本文探讨了天气现象研究中的洛伦兹模型。

正文

Lorenz模型是从流体力学的Navier-Stokes方程在Rayleigh-Benard问题里简化得到的一个方程组，其反映了速度、温度、密度变量随时间演化的规律：

$$\frac{dx}{dt}=\sigma(y-x)\tag1$$
$$\frac{dy}{dt}=-xz+rx-y\tag2$$
$$\frac{dz}{dt}=xy-bz\tag3$$
其中$x,y,z$分别为流体温度、密度、速度，而$r$反映由温差带来的驱动效果，$b$则反应流体阻尼。上式对实际问题太过简化，但这样的模型也能产生混沌现象，为我们研究提供一定的基础。

欧拉法在数值求解此问题时仍然给出不错精度的结果。因此下面采用欧拉法来求解此问题。

LORENZ模型内流体运动显著依赖于驱动$r$，当改变驱动$r$的大小时，即可观察到混沌的产生和消失。

• 混沌初现

在不同的$r$值时画出速度z随时间的变化曲线:
取实验参量为$\sigma=10,b=8/3$,初始值$x=1，y=z=0$，时间间隔为$dt=0.0001$,实验代码如下（lorenz_model_tz.py）：

实验得到如下曲线关系：

当$r=5,10$时，驱动幅度较小时，不产生混沌，流体在经过一段暂态过程后进入稳恒对流运动阶段。

当$r=25$时，强驱动情况下，此时流体发生了复杂的混沌运动。

• 相图分析

作出$x,y,z$相空间的图形，更能揭示混沌现象的内在规律性。

取$r=25$，其他参量同上，做出$x-z$,$y-z$相空间曲线关系，代码如下（lorenz_model2_tz.py）

可以看到，相空间中的轨迹表现为明显的混沌现象。

同上次作业一样，做出相空间截面图进行进一步分析，取$r=25$，其他参量同上，实验代码如下（lorenz_model3_tz.py）

由相空间的截面可以发现，截面对应曲线关系是与初值无关的。也就是说，尽管混沌现象内禀复杂，其对初值极其敏感，但其相空间截面却与初值无关，因而尽管不能预言混沌系统随时间演化规律，但其相图在一定程度上是可以预测的。

• 周期倍增

继续增大$r$值，取$r=160$和$r=163.8$，其他参量同上，做出其曲线变化关系，实验代码如下（lorenz_model4_tz.py）：

可以看到在$r=160$时，系统在一段时间后做周期运动。

但当继续增大至$r=163.8$时，系统整体呈现出周期性趋势，但是混杂着混沌现象。

总结

本文讨论了混沌模型之一的LORENZ模型，即使是极端简化的天气模型，都可以产生明显的混沌现象，可见混沌现象是极其普遍的，这也就导致长期的天气预测等的不可行。初始阶段的微小扰动，都会导致最终结果出现极大偏差，正是混沌的特征之一。正如Lorenz提出的“蝴蝶效应”所描述的那样——“$\it Predictability$ : Does the Flap of a butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas？”

致谢

本文参考了陈洋遥同学的作业，特此致谢。
本文参考了计算物理教材，特此致谢。