混沌现象及分析

——计算物理 期末报告

物基一班 李云龙 2013301020065

摘要

$\qquad$在过去的二十年间，天气预报、流体力学、化学和种群生物学等不同领域的科学家建立了各种模型已解释自然现象。这些模型考虑到非线性和反馈的因素，展现出两条并不协调的特征：第一，他们都包含一些简单的方程；第二，这些方程的解都极其复杂，而且有时他们甚至还是不可预测、无解的。对这些模型的分析，以及实验中发现的类似特征，就是我们所知的混沌理论。

【关键词】

$\qquad$混沌，相图，庞加莱映射，分岔

正文

$\qquad$混沌一词的英文为chaos，意思是混乱，紊乱。在我国传说中指宇宙形成以前模糊一团的无秩序景象，然而现代科学中的混沌，已不同于以往人们想象的那样一片混乱、无秩序状态，而是指那些不具备周期性和对称性特征的有序状态。科学研究表明，混沌现象到处可见，自然界存在的绝大部分运动都是混沌的，规则运动相对的只在局部的范围和较短的时间内存在。
$\qquad$混沌科学是随着现代科学技术的迅猛发展，尤其在计算机技术的出现和普遍应用的基础上发展起来的新兴交叉学科。在现代的物质世界里，混沌现象无处不在，大至宇宙，小至基本粒子。无不受混沌理论的支配。

• 相图

$\qquad$动力学系统一般指由很多微分方程构成的集合，即微分方程组。这些动力系统有的是时变系统，有的是时不变系统。描述系统的基本状态就是求解微分方程组在某个时刻的值，这样就将现实中的动力学系统用数学完美地表示了出来。
$\qquad$描述系统演化与运动最有力的工具是相空间和状态空间，它给出了将数字信号．转变为图形的方法。而随着系统的演变情况，则可通过该点的运动轨迹来描述。以状态变链作为坐标轴建立起的正交坐标系即为相空间，这些点将在相空间中描绘出其自身的轨迹，即相轨迹，也称为相图。在此空间中，状态与相空间的轨迹是一一对应的。
$\qquad$相图包含动力学系统的很多信息，通过观察相图，可以得出系统在 $t\to\infty$ 时渐近状态的数量和类型。当然在一副相图中画出所有轨道是不可能的，只能通过部分轨道来推测系统的整体行为。

• 庞加莱映射

$\qquad$庞加莱映射是一个经典分析动力系统的技术，它用$N-1$阶的离散系统替换了原来$N$阶连续系统。在多维相空间中适当选取一个截面，在此截面上对某一对共轭变量来取固定值，通常称此截面为庞加莱截面。相空间中系统的连续运动轨迹与我们所选的庞加莱截面的交点称为截点。

设我们得到的庞加莱点为:$x_0,x_1,x_2,\cdots,x_n,x_{n+1},\cdots$。则原来相空间的连续轨迹在庞加莱截面上表现为一些离散点之间的映射，即为

$$x_{n+1}=Tx_n\tag1$$
$\qquad$这个映射称为庞加莱映射，把一个连续的运动状态转变为简单的离散映射来研究。其主要内容有：
$\qquad$(1)当Poincare截面上只有一个动点或少数离散点时，运动是周期运动。
$\qquad$(2)当Poincare截面上是闭曲线时，运动是准周期运动。
$\qquad$(3)当Poincare截面上是一些成片的密集点时，运动便是混沌的。
$\qquad$由上述可知，庞加莱映射反映了运动系统的性质，如果系统运动是周期一态，则庞加莱映射是一个不动点；如果系统运动是周期二态，则有两个不动点；如果系统运动是混沌态，则有很多密集的点连成一片，因此，我们可以根据庞加莱映射来判断运动系统是否发生混沌现象。

• 分岔图

$\qquad$动力学系统中的分岔现象是指随着系统中某些敏感参数的变化该系统的动力学行为产生质的变化，尤其是系统的平衡状态产生变化或者方程出现多解，发生轨道分岔。稳定状态的消失是发生分岔的物理前提。分岔是把平衡点、周期解的稳定性和混沌联系起来的一个数学名词。运动系统的稳定性是一个经典的课题，而混沌则是一个比较现代的课题，揭示两者间联系的机理就是分岔理论。常见的分岔有跨临界分岔、霍普夫分岔、倍周期分岔和边界碰撞分岔等。
$\qquad$分岔理论从数学上讲就是在某一系统参数情况下微分方程出现了非唯一解。解的不唯一性在现实中就表现出系统的不稳定性。解的数目决定了系统在现实中具有多少工作状态。因此，在系统不稳定的情况下，非常小的扰动都会使系统在几种工作状态之间跳跃，无法达到预定目标，甚至出现系统崩溃现象。
$\qquad$分岔理论的直观表示是分岔图。分岔图是一种针对某一个控制参数，系统的稳定状态变化点的集合的图形。一般说来，分岔图通过选择一个状态变量和一个控制参数来画出。离散系统的分岔图是画出状态变量的连续变化值；连续系统的分岔图是需要将系统离散化，通过应用庞加莱截面来得出。通过分岔图可以更加清楚地观测到在一个系统参数变化的情况下状态空间的变化情况：从稳定状态到周期状态进而到混沌状态。需要特别说明的是，在分岔参数的变化区间内，动力系统可能在不同的分岔数值处相继出现分岔。所以分岔图可以作为判断系统是否发生混沌现象的方法之一。

• 单摆的混沌现象

$\qquad$不同于研究简谐摆、阻尼摆和驱动摆的情形，在考虑其混沌现象时，进行如下几点假设：
1.不再假设小角度近似（即采用非线性近似）；2.添加阻尼项；3.增加驱动项。
$\qquad$将三者结合起来考虑，可以得到如下运动方程：

$$\frac{d^2\theta}{dt^2}=-\frac{g}{l}sin\theta-q\frac{d\theta}{dt}+F_Dsin(\Omega_Dt)\tag2$$
化为一阶方程组之后，根据欧拉-克拉默方法，可以得到如下计算关系式：
$$\omega_{i+1}=\omega_i-[(g/l)sin\theta_i-q\omega_i+F_Dsin(\Omega_Dt_i)]\Delta t\tag3$$
$$\theta_{i+1}=\theta_i+\omega_{i+1}\Delta t\tag4$$
$$t_{i+1}=t_i+\Delta t\tag5$$
计算过程中，保持$\theta$始终在$[-\pi,\pi]$区间内。
$\qquad$首先考虑$F_D=0,0.5,1.2$三者时的$\theta—t$曲线关系：其他参量分别为：$q=1/2,l=g=9.8,\Omega_D=2/3,dt=0.04,\theta(0)=0.2,\omega(0)=0$
实验代码如下：（chaos_tz.py）
得到如下实验曲线：

$\qquad$可以看到：
$\qquad$当$F_D=0$时，摆为阻尼摆，摆在一段时间后停止摆动。
$\qquad$当$F_D=0.5$时，摆迅速进入稳定的周期性（正弦函数）摆动状态。
$\qquad$当$F_D=1.2$时，摆的运动变得毫无规律，运动轨迹随时间变化没有周期性，这就是混沌行为。
$\qquad$为进一步研究混沌的特征，假设有两个相同的摆，具有相等的长度及阻尼系数。它们唯一的区别在于摆的初始角度不一样。假设摆的常数同上，对其中一个摆添加初始微小扰动，两摆初始角度相差$0.001rad$，通过计算得到$\Delta\theta=|\theta_1-\theta_2|$与时间的关系曲线，实验代码如下：（CHAOS2_tz.py）

$\qquad$当$F_D=0.5$时，两摆的摆角差随时间的变化是有规律的，$\Delta\theta$每过一定时间就会上升形成一个波峰，所有波峰的连线是一条趋势线，趋势线满足关系$log(\Delta\theta)$正比于$\lambda t$,即$\Delta\theta\approx e^{\lambda t}$。
$\qquad$当$F_D=1.2$时，变化再次没有规律可循。
$\qquad$通过以上实验结果可以发现，在非混沌情况(无驱动和弱驱动)下，两个摆的摆角差异逐渐减小，而在混沌情况，两个摆的摆角差距则逐渐增大，最终增大到极限。可见，混沌系统之所以是“不可预测性”的，其原因就在于尽管摆的方程存在唯一解，但解并不稳定，对初值极为敏感，因而这样的解就导致了混沌运动。
$\qquad$接下来通过位形空间来进行观察，分别作出$F_D=0.5$，$F_D=1.2$时的$\omega-\theta$曲线，实验代码如下：（CHAOS3_tz.py）

$\qquad$当$F_D=0.5$时，曲线最后趋近于一个椭圆；
$\qquad$当$F_D=1.2$时，摆的相轨线杂乱无章，体现了混沌运动的高度非周期性。
$\qquad$为进一步看到混沌运动的内禀特征，接下来考虑庞加莱映射下的位相空间图，在上文中的（2）式中，引入一个位相$\psi$自变量，使之变成不显含时间的自洽系统：
$$\frac{d\theta}{dt}=\theta_1\tag6$$
$$\frac{\theta_1}{dt}=-q-\frac{g}{l}sin\theta+F_Dcos\psi\tag7$$
$$\frac{d\psi}{dt}=\Omega\tag8$$
$\qquad$于是就得到了描述单摆的三维相空间,如下图所示：

$\qquad$由于相角具有$2\pi$的周期性，因此可以把相图上的$\psi=2n\pi$,$\psi=(2n+1)\pi$处连接起来，这样描写单摆运动的相空间就变成如上图的圆环了。原来在图上的单摆的圆形轨线，现在成了附着在圆环面上的环线。当我们取某一个常数位相，例如$\psi=2n\pi$，就等于在该位相处截取了一个平面，环线在穿过该平面时就留下了一个点。如果运动是单周期的，在周期性的运动过程中轨线每次都重复地运行在原有的轨道上，因此它总是在截面的同一位置穿过，在截面上只留下一个点。如果运动是两倍周期的，在每个周期内相轨线有两次在截面上的不同位置上穿过，因此留下两个点；同样，如果是4倍周期的运动，在截面上留下4个点，等等。如果运动是无周期的，则轨线每次都在截面上的不同点穿过，于是截面上留下无穷多个点。庞加莱映射对于分析复杂运动是非常有用的，因为无周期的复杂运动会在截面上留下由点构成的某种独特结构。
$\qquad$因此可以只取驱动力周期的整数倍时刻（即满足$\Omega_Dt=2n\pi$）去观察摆的运动，把这些时刻的相画在相图上，得到庞加莱截面。实验代码如下：（CHAOS4_tz.py）

$\qquad$可以看出，其庞加莱截面为无穷多个点穿过，说明运动是无周期的，则轨线每次都在截面上的不同点穿过。庞加莱映射使得这种无周期的复杂运动在截面上留下由点构成的独特结构。
$\qquad$在$F_D=1.2$时摆出现混沌现象，继续增大$F_D$，当$F_D$分别等于1.35,1.44,1.465时得到$\theta—t$曲线关系，实验代码如下（CHAOS5_tz.py）

$\qquad$当$F_D=1.35$时，曲线为单倍周期；
$\qquad$当$F_D=1.44$时，曲线为双倍周期；
$\qquad$当$F_D=1.465$时，曲线为四倍周期。
$\qquad$一般来说，系统从简单运动过渡到混沌运动有不同的机制，然而很多情况下，其混沌的产生均有赖于周期倍增现象，周期加倍是产生混沌的一种机制。
$\qquad$从单摆的混沌现象可以看出其具有内在随机性、敏感依赖性、分形性质、周期性倍增等特征。

• Lorenz天气模型的混沌现象
  $\qquad$Lorenz模型是E.N.LORENZ从气象问题中抽象出来的一个极简化的模型，但仍然能够有效展示混沌现象的产生，并且可以期待一般流体中也会拥有这样的混沌产生机制。
  $\qquad$Lorenz模型是从流体力学的Navier-Stokes方程在Rayleigh-Benard问题里简化得到的一个方程组，其反映了速度、温度、密度变量随时间演化的规律：
  $$\frac{dx}{dt}=\sigma(y-x)\tag1$$
  $$\frac{dy}{dt}=-xz+rx-y\tag2$$
  $$\frac{dz}{dt}=xy-bz\tag3$$
  $\qquad$其中$x,y,z$分别为流体温度、密度、速度，而$r$反映由温差带来的驱动效果，$b$则反应流体阻尼。上式对实际问题太过简化，但这样的模型也能产生混沌现象，为我们研究提供一定的基础。
  $\qquad$欧拉法在数值求解此问题时仍然给出不错精度的结果。因此下面采用欧拉法来求解此问题。
  $\qquad$Lorenz模型内流体运动显著依赖于驱动$r$，当改变驱动$r$的大小时，即可观察到混沌的产生和消失。
  $\qquad$在不同的$r$值时画出速度z随时间的变化曲线，取实验参量为$\sigma=10,b=8/3$,初始值$x=1，y=z=0$，时间间隔为$dt=0.0001$,实验代码如下（lorenz_model_tz.py）：
  实验得到如下曲线关系：
  
  $\qquad$当$r=5,10$时，驱动幅度较小时，不产生混沌，流体在经过一段暂态过程后进入稳恒对流运动阶段。
  $\qquad$当$r=25$时，强驱动情况下，此时流体发生了复杂的混沌运动。

$\qquad$作出$x,y,z$相空间的图形，更能揭示混沌现象的内在规律性。取$r=25$，其他参量同上，做出$x-z$,$y-z$相空间曲线关系，代码如下（lorenz_model2_tz.py）

$\qquad$可以看到，相空间中的轨迹表现为明显的混沌现象。
$\qquad$下面做出相空间截面图进行进一步分析，取$r=25$，其他参量同上，实验代码如下（lorenz_model3_tz.py）

进一步模拟出吸引子的3D图，可以更加清晰的观察其关系：

$\qquad$由相空间的截面可以发现，截面对应曲线关系是与初值无关的。也就是说，尽管混沌现象内禀复杂，其对初值极其敏感，但其相空间截面却与初值无关，因而尽管不能预言混沌系统随时间演化规律，但其相图在一定程度上是可以预测的。
$\qquad$可以看出，即使是极端简化的天气模型，都可以产生明显的混沌现象，可见混沌现象是极其普遍的，这也就导致长期的天气预测等的不可行。初始阶段的微小扰动，都会导致最终结果出现极大偏差，正是混沌的特征之一。正如Lorenz提出的“蝴蝶效应”所描述的那样——“$\it Predictability$ : Does the Flap of a butterfly's Wings in Brazil Set Off a Tornado in Texas？”

总结

$\qquad$通过本文对混沌现象的分析，可以得到混沌现象主要有一下几点特征，包括：内在随机性、整体稳定而局部不稳定、对初值的敏感依赖性、遍历性、轨道不稳定及分岔以及奇异吸引子等特征。非线性混沌现象处处存在于我们的生活当中，还有许多值得我们发现和研究的地方。

引用

1.吴天行，华宏星主编,《机械振动》,清华大学出版社,2014.04,第191页
2.刘洪臣，齐超，霍炬主编,《现代电路分析与综合 ANALYSIS AND SYNTHESIS OF MODRN CIRCUIT》,哈尔滨工业大学出版社,2014.08,第95页
3.Nicholas J.Giordano,Hisao Nakanishi,《Computational Physics》,清华大学出版社，2014.03