计算物理第十三次作业

物基一班 李云龙 2013301020065

背景

静电势问题是经典电动力学的重要问题。在无源区域，静电势满足Laplace方程，从而只要在一定的边界条件下求解Laplace方程就可以得到静电势的空间分布。
本文主要介绍采用relaxation method求解计算物理课本习题5.3。

正文

在无源区域中，静电势满足Laplace方程：

$$\frac{\partial^2V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V}{\partial z^2}=0\tag1$$
如果加上边界条件，理论上我们就可以解出电势V。但是除了一些特殊的边界条件以外，对于这类问题我们难以得到解析解。所以我们必须使用数值计算的方法，得到电势的数值解。
在直角坐标系下将上述方程离散化就可以得到数值求解的方法。可以将静电势方程离散化为下述形式：
$$V(i,j,k)=\frac{1}{6}[V(i+1,j,k)+V(i-1,j,k)+\\V(i,j+1,k)+V(i,j-1,k)+\\V(i,j,k+1)+V(i,j,k-1)]\tag2$$
理论分析表明，二维网格化离散的情况下，非边界上的点的电势相等于其周围最近的四个点的电势的平均值。
在本文中我们使用的方法是relaxation method，这种方法可以用来数值求解以Laplace方程为代表的一类所谓的“椭圆偏微分方程”。relaxation method的三种具体情形包括Jacobi、Gauss-Seidel、simultaneous over-relaxation方法。
最简单的一种是Jacobi方法。Jacobi方法的精髓是从一个符合边界条件的猜测解开始，通过迭代，使得数值解收敛于真实的解。Jacobi方法的改进版是Gauss-Seidel方法。在计算中，我们总是算完一个点再算另一个点，也就是逐点更新计算结果。该方法主要的改进是在计算某一点的电势时，使用之前的点已经更新后的数据。Gauss-Seidel方法的改进版是simultaneous over-relaxation （SOR）方法。在这种方法中引入了参数alpha，从而增大了收敛速度。

• 平行板电容附近的电场

考虑平行板电容器的电势分布，为简单起见仅讨论二维问题，取两块平行板的电位分别为$+1V,-1V$，正方形边界的电势为$0V$。
首先使用Gauss-Seidel方法，对电容器附近的电势进行求解，实验代码如下（relaxation method.py），求得的电势等高分布如图所示：

由Jacobi方法我们求得三维空间分布图像为：

由图可知，空间中的电势场在左侧平板上呈现一个峰，在右侧平板上呈现一个谷。整体的分布情况与理论值相符。
由电势分布推得电场分布情况如下：

由图可知，电场线主要从电势高的一侧侧板流向电势低的一侧侧板，板间的电场是均匀的。这与理论相符。

总结

理论来讲，relaxation method三种不同方法迭代速率有一定差别，但是在应对电场的数值计算过程中，所得结果与电磁学理论相符，表明数值方法是可靠地。

致谢

本文参考了陈洋遥同学和吴雨桥同学的作业，特此致谢。
本文参考了计算物理教材，特此致谢。