计算物理第十一次作业

物基一班 李云龙 2013301020065

背景

本文主要研究太阳系中行星运动问题。相比于地球上的物体运动受到显著的空气阻力影响，行星运动是良好的物理观测场所。17世纪开普勒发现行星运动三大定律，而后牛顿又成功地用万有引力定律解释了开普勒定律，行星运动的研究推动了物理学的发展。本文完成了计算物理课后习题4.7,4.9。

正文

• 太阳系整体运动

在太阳系中，由于太阳的质量比行星的质量大得多，因此可以把太阳看做不动而行星绕其运动。根据牛顿万有引力定律，行星受到太阳的引力为：

$$F_G=\frac{GM_SM_E}{r^2}\tag1$$
式中，$M_S$,$M_E$分别为太阳和地球质量，$r$为他们之间距离。

其中$F_G$可以分解为$x,y$方向上的两个分量，再结合牛顿第二定律，可以得到如下一阶方程组：

$$\frac{dv_x}{dt}=-\frac{GM_Sx}{r^3}\tag2$$
$$\frac{dx}{dt}=v_x\tag3$$
$$\frac{dv_y}{dt}=-\frac{GM_Sy}{r^3}\tag4$$
$$\frac{dy}{dt}=v_y\tag5$$
于是，可以通过欧拉方法来计算太阳系行星轨道，这里使用VPython来模拟3D情况。
实验代码如下（solar system）
实验模拟轨道如图所示：

• 两体问题

上面讨论的问题，由于太阳的质量比其他行星要大得多，可以合理化为单星问题，但当两体质量相近时就不能化为简单的运动问题。因此有必要在静止坐标系下直接对双星运动求解。假设两星体质量满足$M_1/M_2=2$,以不同的初始速度开始运动。
实验代码如下所示（planet1_tz.py）
实验得到曲线如下：

可以发现，双星运动轨迹高度依赖初始条件。
左图显示初始条件合适时，双星轨道为圆形；
右图显示初始条件偏离成圆条件时，双星轨道为椭圆。
计算中单位均取天文学单位。

• 行星进动

如果引力不是平方反比的，而是另外的比例系数，即$F_G=\frac{GM_SM_E}{r^\beta},\beta\neq2$，这样来讲一般行星轨道将产生进动。
实验代码如下（planet2_tz.py）
得到如下曲线关系：

可以看到，当$\beta$越来越大时，行星运动的进动越来越明显，以至于最后可以脱离母星的束缚。

• 离心率对进动运动的影响

假设$\beta=2.05$,并假设中心天体不动，我们改变离心率的值，观察进动现象的变化。
实验代码如下所示（planet3_tz.py）
得到如下曲线关系：

左上展示了初始条件合适时，行星仍然能够保持圆轨道运动，此时不发生进动。
右上图及左下图则展示了行星轨道偏离圆周运动时，轨道将不是闭合的椭圆，而是将不断进动。
右下图给出了进动速率随离心率变化的规律，可以看出离心率越大时，进动越明显。

总结

本文主要探讨了太阳系行星运动、两体运动以及进动现象，通过求解两体运动方程得到了两体运动在静止坐标系下的解，通过研究非平方反比引力，展示了行星进动一个可能的来源。

致谢

本文参考了陈洋遥同学、吴雨桥同学以及舟舟同学的作业，特此致谢。
本文参考了计算物理教材，特此致谢。